1.3. Приклади розв’язання задач

Задача 1. Закон руху точки М в площині Оху заданий рівняннями , де х, у – у сантиметрах, t – у секундах.

Визначити рівняння траєкторії точки; для моменту часу с знайти швидкість і прискорення точки, її дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривини траєкторії у відповідній її точці. Траєкторію та знайдені векторні величини відобразити на схемі.

Розв’язання. Рівняння траєкторії точки будемо шукати у вигляді залежності між координатами точки (у координатній формі). Для вилучення з рівнянь руху часу , що входить в аргументи тригонометричних функцій, використовуємо формулу

 або, вважаючи ,

.                                                (1)

З рівнянь руху знаходимо вираз відповідних функцій і підставляємо в рівняння (1). Отримаємо

,

звідки

.                                           (2)

Отже, траєкторією точки є еліпс, центр С якого має координати (-1, 2), а розміри півосей, паралельних осям х і у, відповідно 4 і 3 см (рис. 1.8, а).

а)                                                        б)                                            в)

Рис. 1.8

Швидкість точки знайдемо за її проекціями на осі координат:

.

Підставивши ці вирази у формулу

,                                                         (3)

після спрощень отримуємо величину швидкості точки:

.                                            (4)

При  с буде  см/с,  см/с і  см/с.

Використовуючи отримані результати, побудуємо на схемі вектор , попередньо визначивши координати точки М1: х1 = 2,46 см, y1 =3,5 см            (рис. 1.8,а).

Знайдемо далі прискорення точки:

.

При  с буде  см/с2,  см/с2 і  1,02 см/с2.

За цими результатами будуємо вектор  (рис. 1.8,б).

Визначимо тепер дотичне і нормальне прискорення точки, тобто проекції вектора  на осі  і п.

Дотичне прискорення знайдемо, продиференціючи за часом рівняння (3):

.

Тоді, враховуючи, що  маємо

.                                                  (5)

Підставляючи в (5) числові значення величин для с, отримуємо        = -0,26 см/с2.

Нормальне прискорення точки при відомих значеннях величин а і а обчислимо за формулою .

Підставивши значення  маємо =0,98 см/с2.

Зобразимо на рис. 1.8,в координатні складові  і , які знайдемо шляхом розкладання вектора  на напрями дотичної  і головної нормалі п. Напрямок осі  встановлюємо відповідно до знаку проекції  (оскільки  < 0, то вісь  протилежна вектору ), вісь  спрямована до неї перпендикулярно у бік угнутості траєкторії.

Радіус кривини траєкторії визначимо за формулою . Підставляючи числові значення V1 і , знайдемо,  = 3,0 см.

Відповідь: 11,72 см/с,  = 11,02 см/с2, = -0,26 см/с2,

=0,98 см/с2,  = 3,0 см.

Задача 2. Матеріальна точка рухається у площині Оху. Початкова швидкість  утворює з горизонталлю кут . Рух точки задано рівняннями:

,

де g – постійна величина.

Визначити траєкторію, швидкість і прискорення точки, а також висоту траєкторії і час підйому з початкового положення (точки О) до найвищої точки траєкторії.

Розв’язання. Для визначення траєкторії потрібно знайти залежність між координатами х і у точки, що рухається. Визначивши з першого рівняння  і підставивши в друге, маємо рівняння траєкторії

.                                                        (1)

Траєкторія точки – парабола (рис. 1.9).

Диференціючи рівняння руху за часом, знайдемо:

               (2)

Подпись: 1Подпись: АПодпись: 2

Рис. 1.9

звідки

.                         (3)

Визначаємо прискорення точки. Для проекцій прискорення  на осі координат маємо:

.                               (4)

Таким чином, точка рухається з постійним за модулем і напрямом прискоренням, паралельним вертикальної осі Оу ( це прискорення вільного падіння). Звертаємо увагу на те, що оскільки a = const, рух точки не є рівнозмінним, оскільки умовою рівнозмінності руху є не a = const, а                     a = const. У розглянутому русі, як далі буде визначено, значення a  не постійно.

Знаходимо a, диференціючи вираз (3):

.

Тепер визначимо висоту траєкторії руху, тобто координату уа найвищої точки (рис. 1.9). Оскільки VAу = 0 (вектор швидкості  є перпендикулярним осі у), то підставивши це значення в друге рівняння (2), знайдемо час руху з точки О в точку А (час підйому): . Підставивши значення  в друге із заданих рівнянь руху, після спрощень отримуємо висоту траєкторії:

.

Оскільки розглянутий рух відбувається з постійним прискоренням , але воно є змінним, то на гілці підйому (від точки О до точки А) рух буде уповільненим (див. положення М1 на рис. 1.9: вектори  і  спрямовані протилежно), а на гілці спуску – прискореним (див. положення М2 на рис. 1.9: вектори  і  спрямовані в один бік).

1.4. Питання для самостійної роботи

1. Чим відрізняється дугова координата s точки від пройденого нею шляху? Коли вони збігаються?

2.  Чи залежить напрям орта  дотичної до траєкторії від напряму руху точки?

3. Які зміни вектора швидкості характеризують дотичне і нормальне прискорення?

4. Чи може точка, що рівномірно рухається, мати прискорення?

5. Чи однакові поняття «рух точки з прискоренням» і «прискорений рух точки»?

6. Як визначити, рух точки є прискореним чи уповільненим?

7. Як напрямлена швидкість точки, яка рухається по криволінійній траєкторії?

8. Як напрямлене прискорення точки, яка рухається по криволінійній траєкторії?

9. Якими способами можна задати рух точки?

10. Як можна охарактеризувати рух точки, якщо її дотичне прискорення не від’ємне?

11. В якому випадку руху точки її дотичне і нормальне прискорення одночасно дорівнюють нулю?

12. Який рух точки називають рівномірним, рівнозмінним?

13. Що таке траєкторія руху точки?

14. Дайте визначення механічного руху точки.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я