1.1 Оптимальное программное управление

Рассмотрим объект управления, движение которого описывается уравнением

х = р(х, u, t), (1-1-1)

где x(t) -п- мерный вектор переменных состояния объекта, u(t) - т -мерный вектор управлений.

В развернутой форме уравнение (1.1.1) имеет вид

где (/?г-(жі, • • • , хп, Ui,---,um, t) (і = 1,га) - заданные функции. Они предпола­гаются непрерывными и необходимое число раз дифференцируемыми по Жі,---,Ж„, U\, • • • , ит, t .

В уравнении (1.1.1) управления являются неизвестными фунциями времени, кото­рые определяются исходя из следующих условий.

Задано начальное

x(t0)=x(°) (1.1.2)

и конечное

x(t1)=x(1) (1.1.3)

состояния объекта (1.1.1), где t0 - время начала, a t\ - время окончания функциони­рования объекта.

Эффективность управления оценивается с помощью интеграла

J = J v?0(x, u, t)dt, (1.1.4)

to

где <^о(х, u7 t) - заданная непрерывная функция своих аргументов. Для определен­ности далее будем полагать, что эффективность управления тем выше, чем меньше значение этого интеграла.

На управления и переменные состояния накладываются ограничения, выражаю­щие ограниченные ресурсы управления и допустимые пределы изменения переменных состояния. Часто ограничения на управления имеют вид

\uk(t)\<ul (к = 1,т), (1.1.5)

где и*к (к = 1,ш) - заданные числа.

При т = 2 точки вектора и = [и\ и2) , координаты которого удовлетворяют этим неравенствам, заполняют заштрихованный прямоугольник, приведенный на рис. 1.1.1.

Подпись:

Рис. 1.1.1

В общем случае будем считать, что в соответствии с конструкцией объекта и усло­виями его эксплуатации задано замкнутое множество U в пространстве переменных Ui, • • • , ит и управления могут принимать в каждый момент времени лишь значения из этого множества. Замкнутость множества U означает, что управления могут нахо­диться не только внутри, но и на его границе (например, u\(t) = и\ ).

Далее будем называть оптимальным программным управлением функции времени и kit) = u°(t) (к = 1, га) , принимающие значения из множества U , при которых объект (1.1.1) переводится из состояния (1.1.2) в состояние (1.1.3) и при этом функционал (1.1.4) принимает наименьшее значение.

Равенства (1.1.2),(1.1.3) называются краевыми условшглш. Часто они имеют более
общий вид: а) моменты времени t0 и t\ в (1.1.2), (1.1.3) либо один из них не заданы
(тогда говорят о задаче с нефиксированным временем; б) вектор         (или х^0)) не

задан (задача со свободным правым (или левым) концом траектории с фиксированным либо нефиксированным временем t0 или ti); в) в (1.1.2), (1.1.3) компоненты жг-і0 жгд (г = 1,га) векторов х^0) и х^ не заданы, а лежат на гиперповерхностях

г/,о(х(0), t0) = 0; ^(х^, h) = 0 []=~з<щ г = Т~р~ < п)

(задача с подвижными концами).

Интеграл (1.1.4) также может иметь более сложную структуру:

где i/0(xW, t\) - заданная функция, a qi и g2 _ известные числа.

Кроме того, на переменные состояния, как и на управления, могут накладываться ограничения

ХЄІ, (1.1.6)

где X - замкнутое множество в пространстве состояний Жі,. . . , хп .

В ряде случаев на управления и переменные состояния накладываются интеграль­ные ограничения, например, вида

Нетрудно расширить понятие оптимального программного управления в этих более общих случаях.


Пример 1.1.1. Система "двигатель-генератор". Рассмотрим силовую часть электрического привода типа "двигатель-генератор" (приведённую на рис. 1.1.2).

А^ = МД-МС, (1.1.8)

где А - момент инерции якоря двигателя и приводимого в движение рабочего ме­ханизма (Р. М.), Н • m • с2 ; ф - угол поворота вала двигателя, рад; Мд - момент двигателя, , определяемый выражением Мд = К121я ; Мс - момент нагрузки, Н • м. 2 Уравнение якорной цепи

Ег — Ед = /я-йя,

где Ег - электродвижущая сила генератора (В), связанная с током возбуждения Д (А) кривой намагничивания Ег = (pr(h) ; Ед - электродвижущая сила двигателя, свя­занная с током возбуждения двигателя: 12 (А) зависимостью Ед = СІ2ф , в которой С - коэффициент пропорциональности.

Подставляя эти зависимости в уравнение якорной цепи, получим

/я = ЫД) - С12ф)1Пя (1.1.9) 3. Уравнение цепей возбуждения генератора и двигателя имеют соответственно вид

где Еі , Ii, R{ [Ом] [Гн] (г = 1,2) - напряжение, ток, сопротивление и индуктив­ность цепи возбуждения генератора и двигателя соответственно.

В зависимости от назначения рабочего механизма, связанного с валом двигателя, возникают различные режимы управления рабочим механизмом, который должен:

а)         за минимальное время разогнаться до заданной скорости либо

б)         совершить заданную работу за минимальное время, либо

в)         переместиться из одного положения в другое за заданное время при минималь-
ных потерях в цепях управления и якорной цепи.

Осуществление каждого из этих режимов управления затруднено целым рядом ограничений, к числу которых относятся следующие:

Перегрев якоря, определяемый потерями в якорной цепи, которые пропорцио­нальны квадрату тока в этой цепи. Температура перегрева пропорциональна числу

и, следовательно, ограничение температуры перегрева описывается соотношением

J 1 Кя  Ldt<T, (1.1.11)

to

где Т - заданное число, характеризующее допустимую температуру.

Напряжение, прикладываемое к обмотками возбуждения генератора и двигателя, ограничено напряжением источников питания - Ею, Е2о :

\Ег{і)\ < Е10, \E2(t)\ < Е20. (1.1.12)

Максимальные значения скоростей и ускорений движения ограничены из условий прочности рабочего механизма либо комфорта, если, например, рабочим механизмом является лифт с людьми. Эти ограничения имеют вид

где ф1 и ф% - заданные числа.

Время осуществления названных выше режимов управления "а" и "б" вступает в рассматриваемом случае как мера эффективности управления. Эту меру можно описать с помощью интеграла

ti

Действительно, из (1.1.14) следует J = t — t0 .

Начальными и конечными состояниями системы "генератор-двигатель" являются положение, частота вращения вала двигателя, ток в обмотках возбуждения генератора и двигателя в начальный (t0) и конечный моменты iti = mint) времени.

ф(і0) = фо, ф(і0) = ф0, h(t0) = /ю, /2(*о) = /20; (1.1.15)

ф(і1) = ф1, ф(і1) = ф1, /і(*і) = /іі,/2(*і) = /2і; (1.1.16)

Оптимальным программным управлением являются законы изменения напряжений E\(t) , E2(t) , удовлетворяющих ограничениям (1.1.12), при которых система "генератор-двигатель" переходит из состояния (1.1.15) в состояние (1.1.16) и при этом функционал (1.1.14) принимает наименьшее значение и выполняются ограничения (1.1.13), (1.1.13).

Для режима "в", когда требуется переместить рабочий механизм из одного положе­ния в другое за заданное время t\ — t0 при минимальных потерях в цепях управления и якорной цепи, минимизируемый функционал имеет вид

и выражает энергию, выделяемую в этих цепях.

Для удобства последующего изложения запишем уравнения системы "генератор -двигатель" и ограничения в стандартной форме. В связи с этим введем обозначения

где фн , фн , /1н , І2н - номинальные значения угла поворота двигателя (рад), частота его вращения (рад • с-1) , токов в обмотках возбуждения (А) (для простоты полагаем, что числовые значения фн , и фн равны).

С учетом этих обозначений запишем уравнения (1.1.8), (1.1.9), (1.1.10) в безразмер­ной форме (полагая далее Мс = 0):

жі = ж2, ж2 = аі^іг(ж3)ж4 + а2ж2Ж4; (1.1.18) із = -77гж3 + ^-щ; ж4 = -7^гж4 + ^-и2, (1.1.19)

Оптимальным программным управлением в рассматриваемом случае будут (напри­мер, для режима "а") функции u^(t) и u2°^(t) , такие, что рабочий механизм за ми­нимальное время при выполнении ограничений (1.1.20) ... (1.1.22) переместится из

СОСТОЯНИЯ Xi(to) = Хіо (І = 1,4) В СОСТОЯНИе, Xi(t\) = Хц (і = 1,4) , где

_ Фо _ Фо _ ho хю — х20 — ^г"! хзо — т—5

Фп       Фп hn


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я