10.2 Частотное адаптивное управление

10.2.1 Постановка задачи

Рассмотрим полностью управляемый, асимптотически устойчивый объект управле­ния, описываемый уравнением

+ dn_iy^ + ... + diy + doy = kmUW + --- + k0u + f} (10.2.1)

в котором di, kj (і = 0, п — 1, j = 0,m) - неизвестные числа, f(t) - неизвестная, ограниченая функция.

Задача состоит в пострении регулятора, описываемого, начиная с момента времени tjv , дифференциальным уравнением

что характеристический полином системы

корни которого имеют отрицательные вещественные части. Указанную близость будем характеризовать неравенствами

|Д ~d*\< єг {г = 0,2п- 2), (10.2.5)

в котором Єі (і = 0, 2га) - заданные числа, Di (і = 0, 2га) - коэффициенты характе­ристического полинома (10.2.3).

Адаптивный регулятор, решающий эту задачу, описывается дифференциальным уравнением с кусочно - постоянными коэффициентами

где і (і = 1, А) - номер интервала адаптации, ti - момент окончания і -того интер­вала ti так же как числа А, , А;рг| (к = 0,га — 1, і = 0, А) находятся в процессе адаптации, v(t) - испытательное воздействие вида

с задаными амплитудами рк и частотами шк (к = 1, в) , в = га , либо # = 2га — 1 .

Заметим, что в действительности амплитуды и частоты испытательного сигнала различны на различных интервалах адаптации и он описывается выражением

Однако настройка этих амплитуд и частот на различных интервалах для простоты не рассматривается, и поэтому будем полагать эти параметры испытательного сигнала неизменными на некоторых интервалах адаптации, в частности, при і = 1 дифферен­циальное уравнение (10.2.6) заменяется алгебраическим соотношением

u = v (10.2.9)

которое является частным случаем уравнения (10.2.6), когда c/W = £;М = 0, (А; = 1, га — 1) , = 1, fcM=0, (гєТТЖ).

В этих случаях испытателный сигнал (10.2.7) содержит га гармоник (в = га) , а в остальных случаях # = 2га — 1 .

10.2.2 Первый интервал адаптации (идентификация объекта)

На первом интервале адаптации идентифицируется объект (10.2.1).

Для этой цели он возбуждается испытательным сигналом (10.2.7) при (в = га) , и в соответствии с алгоритмом (8.2.1) конечно- частотной идентификации находятся оценки di = df^ = di(qi, Tg) , ki = k\^ = ki(q±, Tg) (і = 0,ra —1) коэффициентов объекта.

Решая тождество Везу

лятора для второго интервала

Рассмотрим объект с регулятором (10.2.11). Исключая переменную u(t), запишем уравнения этой системы в виде

Уравнение (10.2.12) будем рассматривать как уравнение "нового" объекта с упра­влением v и возмущением a^\s)f и идентифицировав этот "объект", используя ал­горитм 10.3.1 конечно- частотной идентификации, будем сравнивать оценку полинома D^(s) с заданным полиномом D*(s) .

Рассмотрим этот путь более подробно.

Частотные параметры этого "объекта", называемые частотными параметрами за­мкнутой системы, определяются как

10.2.3 Второй интервал адаптации (идентификация замкнутой системы)

Переходя к идентификации "объекта" (10.2.12) повторим этапы алгоритма 8.2.1. Возбудим объект (10.2.12) испытательным сигналом (10.2.7), содержащим (2га) гар­моник и подадим его выход на вход фильтра Фурье

получим оценки D\ = D\ (qT^) (і = 0, 2га — 2) , (q = qi + 1) коэффициентов характе­ристического полинома замкнутой системы. Целевые неравенства

А №) - а* < ег (г = 0, 2га - 2) (10.2.19)

проверяются для каждого q = qi + 1,. . ..

Если при некотором q = q2 эти неравенства выполняются, то адаптация заканчи­вается, N = 2 и искомые полиномы регулятора (10.2.2) имеют вид

dp(s) = d^(s), kp(s) = kp2\s). (10.2.20)

Примечание. Если неравенства (10.2.19) выполняются, а числа а (і = 0, 2га — 2) согласованы соответствующим образом с допусками (8.2.3) на точность идентифика­ции, то изложенное является способом подтверждения модели, получаемой в резуль­тате конечно- частотной идентификации, рассмотренной в разделе 8.2. ■

Если точность идентификации недостаточна, то не существует числа q, при кото­ром условия (10.2.19) выполняются. При этом возможны два случая: А) система (10.2.1), (10.2.11) - асимптотически устойчива; Б) эта система неустойчива.

В случае а) оценки частотных параметров замкнутой системы, получаемых в те­чении второго интервала, используются для улучшения оценок частотных параметров объекта, полученных на первом интервале. Для этой цели используется связь (10.2.16), которую нетрудно представить как

Заменяя v>k и jik [к = 1, п) их оценками Uk{qT^) и jikiqTe) {к = 1, п) q = gi + l,. . ., вычисляем по этим формулировкам оценки частотных параметров объекта ак = ak(qT^) и Pk = Pk(qTe) [к = 1,п, q = qx + 1,...).

Решая частотные уравнения (8.2.9) и проверяя необходимые условия (8.2.25) полу­чим, в момент времени t2 = q2T& , в который эти условия выполняются, новые оценки коэффициентов объекта

di = df] = di(q2T6), k = kf] = ki(q2T6), (i = 0,n- 1). (10.2.22)

При этом необходимо проверить выполнение условий расширяемости интервалов адаптации:

qi - qt-i > qt-i - qt-2 + k} г = 2, 3, (10.2.23)

где к - заданное положительное целое число.

Это условие для рассматриваемого нтервала имеет вид q2 — q\ > q\ + к . Если оно не выполняется, то решаем частотные уравнения до момента q2 = 2qi + к .

Используя оценки (10.2.23), решаем тождество Безу

dW(s)d®(s) - kM(s)kW(s) = D*(s) (10.2.24) и формируем регулятор для третьего интервала адаптации

d[J](s)u = kp3](s)y + v (10.2.25)

В случае Б) выход объекта достигает в момент времени t = t* предельно допу­стимого значения у* (y(t*) = у*) , и тогда второй интервал заканчивается, регулятор (10.2.11) отключается и на третьем интервале объект возбуждается испытательным сигналом (10.2.7) с п гармониками (в = п) и повторяются операции первого интер­вала. При этом длительность фильтрации превышает длительность первого интервала. Действительно, несмотря на то, что физически длительность второго интервала может оказаться сколь угодно малой, полагаем, что его дительность удовлетворяет условию

(10.2.23) расширяемости и t2 = (q2Te) (q2 = 2qi -\-k) , (фактически t2 = t* , однако, для соответствия физическому смыслу можно на интервале [t*, t2] полагать uit) = 0) , и тогда q3 - q2 = qt + 2к ).

[зі

В результате идентификации получим новые оценки коэффициентов объекта d\ и kf^ (і = 0, га — 1) и на основе тождества Везу получим регулятор для четвертого интервала

dp4](s)u = kp4](s)y + v (10.2.26)

и т.д.

Сходимость адаптации

Если возмущение fit) - строго ФФ-фильтруемо на более широком наборе ик (к = 1,2га —1), то ошибки фильтрации частотных параметров замкнутой системы АУк{т) = Ук — ^к(т) , A//fc(r) = — Рк(т) (к = 1,2га — 1) обладают свойством

lim Аик(т) = lim Аик(т) = 0, (к = 1,2га - 1). (10.2.27)

Процесс адаптации сходится, если длительность некоторого его интервала будет больше числа т** , при котором ошибки фильтрации будут таким, что целевые усло­вия (10.2.5) достижимы. Как бы ни было велико число т** , в силу условия (10.2.23) расширяемости интервалов, всегда найдется і* -тый интервал такой, что — ti* > т** . Это означает сходимость адаптации.

Программное обеспечение и практикум

а)         Полиномы d(s) }k(s) и m(s) объекта (10.2.1),

б)         Полином l(s) при испытательном сигнале в регуляторе (10.2.6),где для простоты
принято l(s) = 1 .

в )Вид внешнего возмущения.

г)         Амплитуды и частоты испытательного сигнала (10.2.8),прикладываемого к объ-
екту.

д)         Амплитуды и частоты испытательного сигнала (10.2.8),прикладываемого к за-
мкнутой системе.

е)         Длительность процесса идентификации объекта (задается числом периодов мини-
мальной из частот испытательного сигнала)

ж)        Длительность процесса идентификации замкнутой системы (задается числом пе-
риодов минимальной из частот испытательного сигнала)

з)         Интервал дискретности объекта,задаваемый числом делений периода максималь-
ной из частот испытательного сигнала .

ГАММ А-директива: 311 (Частотное адаптивное управление). Исходные данные:

и)Интервал дискретности замкнутой системы,задаваемый числом делений периода максимальной из частот испытательного сигнала . Результаты:

а)Графики процесса адаптации.

Используя директиву 311 выполняется практикум Пр. 3.5.0 дна из его целей состоит в исследовании зависимости процесса адаптации от параметров внешнего возмущения и испытательного сигнала


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я