10.1 Метод рекуррентных целевых неравенств

10.1.1 Постановка задачи синтеза адаптивного регулятора

Рассмотрим дискретный объект управления, описываемый уравнением

переменная у (к) которого доступна непосредственному измерению, внешнее воздей­ствие f(k) является ограниченной последовательностью неизвестных чисел

Параметры <рх,. . . , <рп , г0,. . ., г^ объекта неизвестны. Известно лишь, что объект (10.1.1) является минимально-фазовым. Это означает, что корни полинома r0 + riA + - • • -\-г^Х^ обладают свойством |Аг| > 1 (г = 1,/і).

Пусть, кроме того, известен знак коэффициента г0 и верхняя оценка |г0| - число сг в неравенстве |г0| < сг .

Пусть цель управления состоит в выполнении неравенства

\у{к + 1)| < А, (10.1.3)

где А - заданное число, согласованное с уровнем внешних воздействий. Далее будем полагать, что

А>/*. (10.1.4)

Требуется построить адаптивный регулятор, выходная переменная которого и(к) обеспечивает достижение объектом (10.1.1) цели управления (10.1.3).

Отметим, что в зависимости от физической природы объекта и назначения системы цели управления могут описываться более сложным выражением, чем (10.1.3), напри­мер

при слежении за задающим воздействием д(к) , либо

е(к + 1) = у (к + г) - Ум(к + 1)           (10.1.8)

при слежении за эталонной моделью, заданной уравнением

Ум(к + 1) + <РміУм(к) + • • • + <~ршпу{к - п + 1) = гм0д(к) + . . . + гпїд{к - I). Отметим, что при безынерционной стабилизации невязка

е(к + 1) = у (к + 1) (10.1.9) и тогда (10.1.3) совпадает с (10.1.5).

10.1.2 Синтез регулятора

Приступая к первому из четырех этапов синтеза адаптивного регулятора, отметим,
что при известных параметрах <£>г-, rj (і =          j = 0,//) объекта (10.1.1) постро-

ение алгоритма регулирования, при котором достигается цель (10.1.3), очень просто. Действительно, если принять этот алгоритм в виде

и(к) = r^&iyik) + ... + <рпу(к - п + 1) - rlU(k - 1) - ... + г^и(к - //)], (10.1.10) то, подставляя (10.1.10) в

и, следовательно, цель управления достигается.

Более того, компенсирующее управление (10.1.10) является оптимальным в смысле функционала

Ji = lim sup |y(fc + l)|, (10.1.13)

к^°° 1/«1</*

так как при этом управлении он принимает наименьшее значение, равное /* . Если цель управления описывается неравенством (10.1.5), в котором невязка eit) определяется выражениями (10.1.6) ... (10.1.8), то законы регулирования, при которых эти цели достигаются, имеют вид:

а) при стабилизации с заданной динамикой

б) при идеальном слежении за задающим воздействием и(к) = г"1

ДО.1.15)

Представим закон управления (10.1.10) в более компактной форме. Для этого вве­дем п + /j, -мерные векторы:

Тогда (10.1.10) примет вид

и(к) =/3* 6{к). (10.1.18)

Это соотношение называют идеальным законом регулирования, поскольку он обес­печивает безусловное достижение цели управления. Законы регулирования (10.1.14), (10.1.15) также принимают вид (10.1.18), если положить для (10.1.14)

Учитывая (10.1.18), запишем уравнение объекта (10.1.1) в следующей эквивалент­ной форме:

у(к + 1) = Го[и(к) - (3* S(k)] + f(k). (10.1.22)

Закон регулирования будем искать в форме, аналогичной (10.1.18), заменяя неиз­вестный вектор (3* вектором настраиваемых параметров (3(к) , и, таким образом,

и(к) = (З'(к)б(к) является алгоритмом регулирования.

;ю.і.2з)

10.1.3 Алгоритм адаптации без внешних возмущений

В соответствии со вторым и третьим этапами синтеза адаптивного регулятора вы­берем прямой алгоритм адаптивного управления, для построения которого используем градиентный метод. Рассмотрим вначале случай отсутствия внешних возмущений

№ = о.

В этом случае цель управления принимает вид

10.1.24)

lim е2(к) = 0.

к—Усо

10.1.25)

В соответствии с методом градиента направление движения в пространстве настра­иваемых параметров (3{к) пропорционально производным функции

г-2е2(к + 1) = [и(к) - (3*'S(k) по настраиваемым параметрам. Это означает, что

и, таким образом, искомый алгоритм имеет вид

0г{к + 1) = 0г{к) - ~аі{к)г0у{к + 1Щк) (г = 1, п + /і). (10.1.28)

Переходя к последнему (четвертому) этапу синтеза адаптивного регулятора, состо­ящему в определении параметра а\(к) алгоритма (10.1.28), введем обозначение

Утверждение. Параметр a\{k) алгоритма адаптации (10.1.30), при котором ада­птивный регулятор (10.1.23), (10.1.30) обеспечивает достижение объектом (10.1.1) при f(k) = 0 цели управления (10.1.25), определяется выражением

Для доказательства этого утверждения возьмем функцию Ляпунова

v(k) = (№) ~ PI)2 > (Ю.1.32)

г = 1

которая выражает "расстояние" настраиваемых параметров регулятора (10.1.23) от параметров идеального закона регулирования (10.1.18).

Найдем условия убывания величины v((3(k)) вдоль траектории движения адапив-ной системы (10.1.22), (10.1.23), (10.1.30).

Для этого рассмотрим разность

Av(k) = v(k + 1) - v(k) = [f3{k + 1) - /3*]' [(3{k + 1) - /3*] - [(3{k) - /3*}' [(3{k) - /3*}.

(10.1.33)

Учитывая (10.1.30) и (10.1.26), запишем при f(k) = 0 , что

Av(k) = -ai(fc) Нетрудно видеть, что Av(k) < 0 , если

Подставляя это выражение в (10.1.33), получим

V(£; + l). (10.1.35)

Для того чтобы обеспечить строгое убывание Av(k) (при у(/г + 1) ф 0) , достаточно взять

где

Ограниченность измеряемого вектора 8(к) , состоящего из значений выхода и входа объекта в различные моменты времени, не являются очевидной. Например, если рас­сматриваемая система неустойчива при начальных значениях параметров регулятора, то на первых шагах процесса адаптации переменные объекта будут расти. Это повле­чет за собой затормаживание настройки и, возможно, нарушение сходимости у(/г + 1)). Однако известно [6.5], что если объект является минимально-фазовым, то 8'(к)8(к) ограничена и, таким образом, утверждение доказано.

10.1.4 Алгоритм адаптации при внешних возмущениях

Рассмотрим теперь объект (10.1.1) или эквивалентный ему объект (10.1.22) с учетом внешних возмущений, удовлетворяющих неравенству (10.1.2). Найдем условие убыва­ния "расстояния" (10.1.32) на движениях адаптивной системы. Нетрудно видеть, что теперь в отличие от (10.1.35)

выражение получается, если в (10.1.34) заменить 8'(к)[0(к)—0*] на y(k-\-l)—f(k) а не на у{к + 1) , как было ранее.

Если величина у{к + 1) мала, а внешнее воздействие f(k) имеет неблагоприятный знак, то величина Av(k) может стать положительной и алгоритм не будет приводить к достижению цели адаптации.

Эффективным способом достижения цели управления при действии возмущений является введение в алгоритм зоны нечувствительности. Из (10.1.41) следует, что если изменять 0(к) только при \у(к +

то вновь, как и при отсутствии f(k) , будет выполнено (10.1.40) и, следовательно, в силу ограниченности 8\к)8{к) цель (10.1.3) будет достигнута.

Полученные алгоритмы адаптации в системах безынерционной стабилизации легко обобщаются на системы стабилизации с заданной динамикой и на следящие системы. Действительно, если невязка eit) описывается выражениями (10.1.6) либо (10.1.8), то уравнение объекта (10.1.1) можно записать в следующей эквивалентной форме:

е(к + 1) = г0[и(к) - 0*'8(к)] + f(k), (10.1.44)

где векторы 0* и 8(к) определяются соотношениями (10.1.17) ... (10.1.21)), и тогда для вывода алгоритма адаптации вида (10.1.42) нужно просто заменить во всех соотно­шениях, начиная с (10.1.28), у(к-\-1) на е(к-\-1) . Таким образом, доказано следующее ниже утверждение.

Утверждение. Пусть имеется неминимально-фазовый объект управления, описы­ваемый уравнением (10.1.1), параметры которого неизвестны (известен лишь знак параметра г0 и число сг в неравенстве |г0| < сг, внешнее воздействие на объект неизвестно, но ограничено известным числом /*). Адаптивный регулятор, обеспе­чивающий достижение цели управления (10.1.5) [где е{к + 1) определяется одним из выражений (10.1.6), (10.1.7), (10.1.29)], описывается уравнениями

Ф) = £ fMk)St(k); (10.1.45)

а компоненты Si(k) вектора 8 (к) определяются одним из соотношений (10.1.16), (10.1.20).

Алгоритм адаптации (10.1.42) впервые был получен на основе метода рекуррентных целевых неравенств, разработанного В. А. Якубовичем [10.1].

Для сокращения изложение собственно метода рекуррентные целевых неравенств было опущено, однако процесс вывода алгоритма адаптации (10.1.42) полностью сле­дует идеям метода. На основе этого метода приведенные результаты были распро­странены [6.5] на случай многомерных объектов, а также на случай запаздывания в измерении и управлении, ограничений на управления.

Пример. Построим адаптивный регулятор химико-технологических процессов, рассмотренный в примерах 6.1.1, 6.1.2, Этот процесс описывается уравнениями

х(к + 1) = ах(к) + Ъи{к)} + ф/(к); (10.1.48)

y(k) = dx(k), (10.1.49)

в которых параметры а , Ъ, ф и d неизвестны. В отличие от примеров 6.1.1, 6.1.2 будем полагать, что f(k) - неизвестная последовательность. При этом

Требуется построить адаптивный регулятор, при котором достигается цель упра-

вления

В (10.1.50) и (10.1.51) /*, у , А - заданные числа.

Запишем вначале уравнения (10.1.48), (10.1.49) в форме (10.1.1):

Далее будем полагать, что известна оценка

и знак числа г0 .

Переходя к построению алгоритма адаптивного управления, введем в соответствии с (10.1.20) и (10.1.21) векторы 0*(к) и 8(к) с компонентами

го

Тогда закон регулирования (10.1.45) примет вид

и(к) = 01(к)у(к) + 02(к)д. (10.1.56) Алгоритм адаптации параметров этого регулятора запишем в соответствии с (10.1.46)


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я