9.2 Алгоритм адаптации

9.2.1 Построение алгоритма на основе метода наименьших квадратов

Переходя к алгоритму идентификации параметров объекта (9.1.1), представим его в форме

у(к+1)+<р1У(к) + - ■ -+<pny(k-n+l) = rlU(k) + - ■ ■+rllu(k-fi+l)+f(k+l) (к = 0,1,2,...).

(9.2.1)

Вводя обозначения

8 (к) = \\у(к),..., у (к - п + 1), и(к),..., и(к - ц + 1)||'

р = ц-^і,...,-ipn, ri,...,^!!',

запишем (9.2.1) как

(9.2.2)

y(k + l)-6'(k){3 = f(k + l).

Вектор неизвестных параметров /3 будем искать из условия минимума суммы ква­дратов невязок

1 N

LN = -J2[y(k + i)-s'(k)p]2.

В соответствии с методом наименьших квадратов этот минимум достигается, если сходится последовательность оценок этого вектора, задаваемая соотношениями (??), (??). Однако их формальное использование может не дать результата, поскольку век­тор 8(к) в этих соотношениях содержит значения переменной у в различные моменты времени, а вектор 8(к) , определяемый (9.2.2), включает в себя входную переменную

и. Если и(к) является выходом регулятора (9.1.5), параметры которого определяются в результате процедуры, описанной в утверждении 9.1.1 при условии, что в (9.1.15) /3 заменяется его оценкой, то можно построить последовательность, сходящуюся к иско­мому вектору (3 .

Такая последовательность определяется рекуррентными соотношениями:

которые являются некоторой модификацией соотношений (??) ... (??) и при h(k) = 1 с точностью до обозначений совпадают с ними.

Утверждение. Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением (9.1.1), с неопределенными параметрами. Адаптивный регулятор, обеспечивающий достижение цели управления (9.1.3) при А = оо, описывается уравнением

u(k) + ippl(k)u(k-l) + . . . + ippn(k)u(k-n) = rpl(k)y(k-l) +. . . + rpn(k)y(k-n), (9.2.6) параметры которого являются решением линейного алгебраического уравнения

N((3(k))v(k) = d*, (9.2.7)

где (3{к) - вектор оценок параметров объекта (9.1.1), получаемых на основе рекур­рентных соотношений (9.2.3) ... (9.2.5).

В этих соотношениях вектор S(k)} определяемый (9.2.2), доступен непосредствен­ному измерению. При достаточно больших значениях к векторы \(3(к) — (3\ < Еє (є - достаточно малое положительное число) и корни характеристического уравнения

системы (9.1.11), (9.2.6) будут близки к заданным числам А* (г = 1,2га).

Строгая формулировка этого утверждения и его доказательство приведены в ра­боте [10.3]. В книге [6.5] эти результаты развиваются на случай, когда А ф оо. Там же получены алгоритмы оптимального (в смысле критериев J = lim М{у2(к)}

обобщения на многомерные системы.

Пример. Параметрически адаптивная система управления гирорамой.

Рассмотрим гирораму, дискретная модель которой описывается уравнениями (9.1.16) ... (9.1.19). Пусть ее параметры изменяются непредвиденным образом. Причина этих

изменений может быть различна. Так, например, при сбоях в питании гиромотора
кинетический момент гироскопа будет изменяться. При этом скорость изменения ки-
нематического момента будет мала по сравнению со скоростями переходного процесса
в гирораме, поэтому гипотеза квазистационарности будет выполняться. Это означает,
что можно полагать в (9.1.16) ... (9.1.19) параметры (fi17 V{      = 1,3) постоянными,

но неизвестными величинами.

Приведем уравнения (9.1.16) ... (9.1.19) к виду (9.1.21) и будем полагать, что со­вокупность внешних возмущений и помех в правой части (9.1.21) является процессом типа "белый шум".

Регулятор описывается уравнением

и(к) + <ppl(k)u(k - 1) + Фр2(к - 2) + <рр3(к)и(к - 3) =

= гр1(к)у(к - 1) + гр2(к)у(к - 2) + гр3(к)у(к - 3),     1 ' ' '

изменяющиеся параметры которого находятся как решения уравнений, построенных на основе

9.2.2 Программное обеспечение и практикум

ГАММ А-директива: 411 (Адаптивное управление на основе метода наименьших квадратов).

Исходные данные:

а)Полиномы d(s) , k(s) и m(s) объекта,который описывается уравнением

d(s)y = k(s)u + m(s)f. Его дискретная модель имеет вид (9.1.1) б)Интервал дискретности Т .

Подпись:

г)         Коэффициенты начального регулятора (9.1.5)(В качестве этих коэффициентов
можно взять произвольные числа).

д)         Желаемый полином (9.1.11) замкнутой системы.

е)         Длительность процесса адаптации.
Результаты:

а)Графики процесса адаптации.

Используя директиву 411 выполняется практикум Пр.3.4.Одна из его целей состоит в исследовании зависимости процесса адаптации от параметров внешнего возмущения.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я