8.2 Конечно-частотная идентификация

Частотные методы служат для идентификации непрерывных объектов управле­ния. В них можно выделить "классический" частотный и конечно-частотный методы идентификации.

В соответствии с первым методом [8.8],[8-9],[8-10] объект возбуждается испыта­тельным сигналом,который является суммой бесконечного числа известных гармо­ник.Коэффициенты передаточной функции объекта находятся минимизацией суммы квадратов разности измеряемых частотных характеристик и частотных характери­стик соответствующих искомым коэффициентам.Возмущения предполагаются бело-шумными и для минимизации указанной суммы используется специальный метод наи­меньших квадратов.

В конечно-частотном методе [8-11]испытательный сигнал содержит минимально возможное число гармоник (равное размерности вектора пространства состояний объ-екта)и это позволяет существенно расширить класс возмущений и помех,при которых достигается необходимая точность идентификации.

8.2.1 Постановка задачи и подход к ее решению

Рассмотрим полностью управляемый и асимптотически устойчивый объект упра­вления, описываемый уравнением

в котором коэффициенты аг-, kj (і = 0, га — 1 (г = 0, т - неизвестные числа, га -известно, т (га < га) - неизвестно, fit) - неизвестная ограниченная функция

где /* - число.

Задача идентификации состоит в нахождении оценок di и кі (і = 0, га — 1) ко­эффициентов уравнения (8.2.1) таких, чтобы ошибки идентификации Adi = di — di, Akj = krj — krj удовлетворяли требованиям

в которых е\ , е\ (г = 0, га — 1) - заданные числа.

Отличие этой задачи от рассматриваемых ранее состоит в том, что неизвестны стохастические характеристики возмущения fit) . Отсутствие сведений о возмущении приводит к тому, что выход объекта yit) зависит от неизвестных его коэффициентов и неизвестного возмущения, и поэтому, точность идентификации ограничена в принципе и зависит от возмущения, реализуещегося в процессе идентификации.

Необходимо выделить составляющую выхода, которая зависит только от неизвест­ных коэффициентов.

(8.2.4)

в котором амплитуды рк (к = 1,га) и испытательные частоты и>к (к положительные числа.

В этом случае выход объекта можно представить как

y(t) = yn(t) + y0(t) + yf(t), (8.2.5)

где ya(t) - составляющая, вызванная испытательным сигналом (8.2.4), yo(t) - зависит от начальных условий, у jit) возбуждается возмущением fit) .

Составляющая ya(t) не зависит от возмущения и поэтому необходимо выделить ее из выходного сигнала и затем использовать ее для идентификации, достигая при этом требуемой точности (8.2.3). Такое выделение осуществляется с помощью фильтра Фурье,с помощью которого находятся оценки частотных параметров.

8.2.2 Частотные параметры и частотные уравнения

Частотными параметрами называется набор 2п чисел

где d(s) = d(s) — s = dn_isn~l + • • • + d0 ■

Заменяя в этой системе частотные параметры их оценками ак , (Зк (к = 1,га), которые , как показано ниже, являются выходами фильтра Фурье, и записывая ее в более подробной форме, получим частотные уравнения идентификации

Эти уравнения можно записать в виде системы 2га линейных алгебраических урав-

нений для определения 2га неизвестных к{ и di (і = 0, га — 1) .

Утверждение. Если объект полностью управляем, испытательные частоты ик [к = 1,га) - различны и частотные параметры известны точно (ак = ак} ((Зк = (Зк к = 1, га), то [8-11] частотные уравнения (8.2.9) имеют единственное решение di = di} ki = ki (где kn_i = • • • = km=i = 0) и это решение не зависит от выбора испытатель­ных частот.

Пример. Запишем частотные уравнения для случая га = 2 . В этом случае объект описывается уравнением

этого объекта имеют

вид

для определения 4х неизвестных б?і , б?о , к\ , А;0 .

8.2.3 Экспериментальное определение частотных параметров

Подадим выход объекта (8.2.1), возбужденного испытательным сигналом (8.2.4) на вход фильтра Фурье, описываемого выражениями

Обозначим ак} (Зк (к = 1,га) выходы фильтра при фиксированном т. Убедимся, что при отсутствии возмущения (f(t) = 0) выходы фильтра сходятся к частотным параметрам:

lim ак(т) = ак, lim (Зк(т) = (Зк (к = 1, п). (8.2.14)

т—>оо т—>оо

Составляющая выхода объекта, вызванная испытательным сигналом состоит из вынужденной компоненты yB(t) и сопровождающей (затухающей) функции aeH(t): yH{t) = yB(t) + aeH(t).

Вынужденая составляющая описывается выражением

Так как значения интегральных выражений ограничены, то из (8.2.16) lim аЛт) = «і . Для остальных выходов фильтра ситуация аналогична и поэтому справедливо соотношение (8.2.14).

Когда возмущение /(t) ^ 0 , то эти соотношения могут нарушаться. Например, если fit) содержит гармоники, частоты которых совпадают с испытательными часто­тами, а амплитуды неизвестны. В этом случае амплитуда результирующего "испыта­тельного сигнала" известна с точностью до неизвестных амплитуд гармоник возмуще­ния.

Опишем возмущения, при которых выходы фильтра сходятся к частотным параме­трам.

Введем экспериментально получаемые функции

являющиеся выходами фильтра Фурье, на входы которого подается "естественный" выход объекта, когда uit) = 0 , {yit) = yo{t) + yj{t)) .

Определение. Возмущение f{t) называется ФФ-фильтруемым (фильтруемым с помощью фильтра Фурье) на заданном наборе испытательных частот ик {к = 1,п) если существует время фильтрации т* такое, что выполняются неравенства

в которых єк и єк {к = 1, п) - заданные числа. Если возмущения таковы, что

то оно называется строго ФФ-фильтруемым.

Нетрудно проверить, что, например, возмущение

Утверждение. Если возмущение fit) является ФФ-фильруемым, то существует время фильтрации т** такое, что ошибки фильтрации Аак(т) = ак — ак(т), А(Зк(т) = (Зк — (Зк(т) (к = 1,п), удовлетворяют неравенствам

ошибки - исчезающие функции

lim Аак(т) = lim Авк(т) = 0 (к = ~Гп), (8.2.23)

Доказательство утверждения следует из функции оценок частотных параметров

ак(т) = ак + еак(т) + tk(r), (Зк(т) = (Зк + е{(т) + Єрк(т)(к = Т^), (8-2.24)

в котором слагаемые ек(т) и ек(т) (к = 1,п) - зависят от исчезающих функций aeH(t) и yo(t) и поэтому lim ек(т) = lim ек(т) = 0 (к = 1,п) . Учитывая условия (8.2.19), получим неравенства (8.2.22) и (8.2.23).

8.2.4 Алгоритм идентификации

Далее будем полагать, что испытательные сигналы кратны базовой частоте cjg . Это означает, что шк = ски& [к = 1, п) , где ск (к = 1, п) - заданные целые положительные числа. Будем измерять выходы фильтра Фурье в дискретные моменты т = qT^ , где

базовый период Гб = — , q = 1, 2,. . . . В этом случае, как нетрудно показать, ошибки

фильтрации уменьшаются, так как составляющие выхода вида (8.2.17) равны нулю.

Для определения длительности идентификации будем использовать следующие не­обходимые условия сходимости идентификации

К-(дТб) - di [(q - 1)Гб)]| < ef, \kt(qT6) - къ [(q - 1)Гб)]| < ек (г = 0, п - 1), (8.2.25)

где di(qTs) и ki(qTs) (і = 0, п — 1) - оценки коэффициентов объекта, получаемые в ре­зультате решения частотных уравнений (8.2.9), в которых ак = ak(qT&) , (Зк = (3k(qT^,) g=l,2,....

Алгоритм, (алгоритм конечно-частотной идентификации):

• приложить выход объекта (8.2.1), возбужденного испытательным сигналом (8.2.4), ко входу фильтра Фурье (8.2.13);

измерить выходы ak(qT^) и /^(дТб) (к = 1,п) этого фильтра в моменты времени т = (qT6) g = 1,2,...;

найти оценки коэффициентов объекта, решая для каждого момента времени т = (дТб) частотные уравнения (8.2.9);

проверять необходимые условия (8.2.25) для каждого q до тех пор, пока эти условия не выполнятся для некоторого q = qi .

В момент времени т = qiT& начинается процесс подтверждения модели. Его цель косвенно проверить выполнение требований (8.2.3) к точности идентификации. Способ подтверждения модели будет рассмотрен в разделе 10.2 (примечание 10.2.3).

Если результат идентификации неудовлетворителен, то идентификация продолжа­ется до тех пор, пока будет достигнута необходимая точность. Достижимость цели идентификации, выражаемой неравнствами (8.2.3), определяется свойствами возму­щения. Если возмущение строго ФФ-фильтруемо, то процесс идентификации сходится к истинным значениям коэффициентов объекта:

Если возмущение только ФФ-фильтруемо, то выполнение требований (8.2.3) зависит от границ ef и ef (г = 1,п) в неравенствах (8.2.19).

8.2.5 Выбор амплитуд и частот испытательного сигнала

Выше предполагалось, что амплитуды и частоты испытательного сигнала (8.2.4) заданы. В действительности они неизвестны и находятся на первом этапе идентифи­кации, называемом планированием эксперимента [8.2].

Если испытательные частоты известны, то амплитуды испытательного сигнала легко находятся из следующего условия "малости возбуждения":

W)-y(t)\ <еу} (8.2.27)

в котором еу - заданное положительное число.

Это условие означает, что испытательное воздействие может изменять "естествен­ный" выход объекта yit) лишь в пределах заданного допуска еу .

Определение значений испытательных частот является более сложной задачей. Ин­туитивно ясно, что эти частоты должны быбираться из диапазона частот, где логариф­мическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) объекта имеет изломы. На первый взгляд может показаться, что это противоречит утверждению 8.3.2, в соответ­ствии с которым решение частотных уравнений не зависит от выбора испытательных частот. Однако, в действительности, это справедливо лишь при точно известных ча­стотных параметрах, а в частотных уравнениях используются их оценки, и поэтому

 (ст2 - некоторое число), параметры <fi , Vj , (г = 1,га; j = 1,/і)

неизвестные числа.

Требуется найти алгоритм управления, при котором достигается цель управления, задаваемая критерием

в котором А - заданное число.

Возвращаясь к первому этапу синтеза, допустим, что параметры <fi, гг- , (г = 1,п; j = 1,/і) объекта (9.1.1) известны. Пусть в (9.1.3) число А = оо . Цель управления

lim М{у2(к)} < оо (9.1.4)

достигается при любом регуляторе, обеспечивающем асимптотическую устойчивость системы. Потребуем дополнительно к асимптотической устойчивости, чтобы корни характеристического полинома замкнутой системы имели наперед заданные значения. Таким образом, речь идет о построении модального управления для объекта (9.1.1). Уравнение регулятора имеет вид

tppou(k) + РрМк ~ 1) Н         Ь <ррпи(к - Пр) = гр0у(к) Н Ь rpti у(к - цр), (9.1.5)

где (fpi} rpj (і = 0,np, j = 0,//р) - искомые числа.

Преобразуя (9.1.1), (9.1.5) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем уравнения объекта и регулятора в виде

Для удобства далее будем использовать обозначения z~l = Хг и положим в (9.1.8) /j, = п , предполагая коэффициенты при отсутствующих степенях z равными нулю. Аналогично, положим в (9.1.9) цр = пр и будем искать параметры регулятора (9.1.5) при условии, что /ір = п . При этих предположениях характеристический полином системы (9.1.6), (9.1.7) имеет вид

Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях А , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных <£>рг-, грг- (г = 1,га). Эта система имеет вид

N(Pv) = d*, (9.1.15)

где v = ||^р1,... ,<ppn,rPl, • • • ,rpn\\ ; d* = d\n,d\n_x ... ,d\ ; N(P) - матрица чисел размеров 2га X 2га , элементами которой являются известные параметры объекта (9.1.1), представленные как компоненты вектора /3 = \\—<рх,...,—<рп, ri,. . ., — гп\\ . В [?] показано, что если объект (9.1.1) полностью управляем [это означает, что полиномы <£>(А) и г (А) не имеют общих корней] и d2n ф 0 , то система (9.1.15) имеет единственное решение относительно искомых параметров <£>рг-, грг- (г = 1,га) .

Утверждение.. Процедура определения параметров регулятора (9.1.5), при кото­ром характеристический полином замкнутой системы (9.1.1), (9.1.5) имеет заданные значения А* (г = 1,2га) заключается в следующем:

сформировать коэффициенты d* (г = 1,2га) желаемого полинома (9.1.11);

на основе уравнения (9.1.14) построить матрицу чисел N(P) уравнения (9.1.15);

решить уравнение (9.1.15) и найти параметры регулятора (9.1.5).

Пример. Модальное управление гирорамой.

Рассмотрим гирораму, дискретная модель которой описывается уравнениями (4.3.31) (4.3.32).

Требуется найти параметры регулятора

u(k) + ipplu(k-l) + ipp2u(k-2) + ipp3u(k-3) = rply(k-l) + rp2y(k-2) + rp3y(k-3), (9.1.20)

такие, чтобы корни характеристического полинома замкнутой системы (9.1.16) ... (9.1.20) имели заданные значения а^, а^, A3, А4, А5, Ag.

Переходя к решению этой задачи, приведем уравнения гирорамы (9.1.16) ... (9.1.19) к виду (9.1.1). Для этого запишем соотношения

у(к) = Xl(k) + х(к) = dx(fc) + Х(к); d = ||1, 0, 0||;

у(к - 1) = dx(fc) + х(к ~ 1) = аФ"1х(А;) - аФ_1г(и(А; - 1) + f(k - 1)) + х(к - 1);

у(к - 2) = аФ"2х(А;) - d<5>-2r(u(k - 1) + /(А; - 1)) - c^_1r(u(A; - 2) + f(k - 2)) + х(А; - 2).

Разрешая эту систему из трех уравнений относительно трехмерного вектора х(&) и подставляя полученное выражение для х(к) в уравнение у{к — 3) = с1Ф~3х(А;) — с1Ф3гX х (м(А; - 1) + /(А; - 1)) - аФ"2г(и(А; - 2) + f(k - 2)) - аФ"1г(и(А; - 3) + f(k - 3) + Х(к - 3), получим уравнение гирорамы в форме "вход-выход" (9.1.1):

у(к) + (fiy(k - 1) + (р2у(к - 2) + (р3у(к - 3) = пи(к - 1) + r2u(A; - 2) + r3u(k - 3) +

+П/(А; - 1) + r2f(k - 2) + r3/(A; - 3) + r^x(^) + r{1]x(k - 1) + r^'x(A; - 2) + г{1]Х(к - 3).

(9.1.21)

Опускаем пока внешние возмущения и помехи и запишем это уравнение в виде

у(к) + <ріУ(к - 1) + <р2у(к - 2) + р3у(А; - 3) = пм(А; - 1) + г2и(к - 2) + г3и(А; - 3). (9.1.22)

В соответствии с процедурой модального управления объектом сформируем жела­емый полином замкнутой системы

г/(а) = [а^а^а*]"1 (а - At) (а - а;) (а - а*) (а - а^) (а - а*) (а - а*) =

= d*6\6 + d;\5 + </*а4 + d;\3 + d*2\2 + d\\ + d*0.

(9.1.23)

Характеристический полином системы (9.1.20), (9.1.22) имеет вид

D(X) = (l + v?iA + ip2X2 + ^3A3) (l + ifplX + ipp2X2 + ^p3A3) -

(9.1.24)

- (nA + r2A2 + r3A3) (rpiA + rp2A2 + rp3A3) .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А полиномов (9.1.23), (9.1.24), получим систему алгебраических уравнений (9.1.15):

(9.1.25)

<Рз<РРз - гзгрз = d*6; ір2іррз + <Рз<РР2 ~ r2rp3 - r3rp2 = d*5; <Рз<РРі + <WP2 + ^г^РрЗ ~ r3rpl - r2rp2 - г\грз = d*4; ip3 + tp2ippl + ip!ipp2 + ipP3 ~ r2rpl - r\rp2 = d*3; <P2 + <Pi<PPi + <Pp2 ~ nrpl = d*2; ipx + ippl = d\. Решая эту систему из шести линейных уравнений, получим искомые значения па­раметров ippl, (рр2, <ррз, гр1, гр2, гр3, регулятора (9.1.20).


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я