7.1 Адаптация с использованием "чистых" производных

7.1.1 Управление известным объектом

Рассмотрим физическое устройство, называемое эталонной моделью, которое опи­сывается уравнением

УІГм) + <пм-1у£Пм_1) + • • • + б?м,іУм + б?м,оУм = кш,шшд[тш) + ■■■ + £;м,оу, (7.1.1)

где yM(t) - измеряемый выход, git) - задающее воздействие- известное заранее, либо измеряемый сигнал.

Наряду с эталонной моделью рассмотрим систему управления

dP,npu{np)+dp,np-1u{np~1) + . . .+dPilu+dPi0u = £;P,mpy(mp) + .. .+kpfi+lPg(p) + .. .+l0g. (7.1.3)

Пусть коэффициенты объекта (7.1.2) известны, и пусть требуется найти коэффи­циенты регулятора (7.1.3) такие, чтобы выходы объекта этой системы и эталонной модели, возбуждаемые задающим воздействием git) обладали свойством

lim е = lim (y(t) - yM(t)) = 0. (7.1.4)

Таким образом, эталонная модель задает желаемое движение системы (7.1.2), (7.1.3). Рассмотрим условия, при которых эта задача слежения за выходом эталонной мо­дели, разрешима.

В связи с этим сравним изображения выходов при нулевых начальных условиях

Степени полиномов числителя и знаменателя левой части этого равенства, как пра­вило, превышают степени соответствующих полиномов левой части, и поэтому для его выполнения необходимо сокращение части этих полиномов. Найдем условия, при кото­рых такое сокращение допустимо. Представим k(s) = k*(s)k~(s) , где k~(s) - полином, корни которого лежат в левой полуплоскости корней (Re Si < 0,s; (г = l,m - корни полинома k~(s) , корни полинома k+(s) лежат в правой полуплоскости и на границах указанных полуплоскостей). Если полином k+(s) не является делителем полинома kM(s) , то он должен делителем характеристического полинома системы (7.1.2), (7.1.3) D(s) = d(s)dp(s) — k(s)kp(s) } что не допустимо, так как эта система должна быть асим­птотически устойчивой. В связи с этим полином kM(s) модели должен удовлетворять условию

kM(s) = k+(s)kM(s). (7.1.7)

Это означает, что неустойчивые нули объекта (корни k+(s)) нельзя изменить и их следует включить в kM(s)) .

Так как k~(s) является делителем D(s) , то полином регулятора d(s) (7.1.3) имеет следующую структуру dp(s) = к~ (s)dp(s) .

Таким образом (7.1.6) принимает вид

Решая тождество Безу (7.1.10), находим полиномы dp(s) и kp(s) и вычисляем dp(s) = k~(s)dp(s).

Полученный регулятор обеспечивает (при нулевых, либо совпадающих начальных отклонениях эталонной модели и системы (7.1.2), (7.1.3) совпадение их выходов: yit) = у Исчезающая ошибка eit), обладающая свойством (7.1.4), вызвана только несовпаде­нием начальных условий этих систем.

7.1.2 Постановка задачи

Рассмотрим объект (7.1.2) с неизвестными коэффициентами. Будем полагать, что его степени пит известны, и кроме того известно, что он является минимально-фазовым. Это означает, что полином k(s) - гурвицев полином, (его корни лежат в левой полуплоскости k(s) = k~(s) , k+(s) = 1).

Запишем его передаточную функцию в виде

Задача состоит в том, чтобы найти алгоритм настройки коэффициентов регулятора (7.1.3) так, чтобы разность выходов системы (7.1.2), (7.1.3) и эталонной модели стре­милась к нулю (выполнялось условие (7.1.4)). Структурная схема адаптивной системы приведена на рис. 7.1.1.

Приведем решение этой задачи для различных структур объекта управления.

7.1.3 Алгоритм адаптации

Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением

(sn + c/n-isn_1 + . . . + dts + d0) = и + hng.

Нетрудно видеть, что он минимально-фазовый и полином k(s) = 1 Эталонная модель имеет вид

is -\- dMn—i sn + . . . + dMis + б?м0) = и + hMg. Уравнения (7.1.13), (7.1.14) можно записать как

х = Ах -|- hg; у = с/х; хм = Амхм -|- hM(/; ум = с/мхм,

производных измеряемых переменных у и ум до п — 1 -го порядка включительно. Тогда уравнение регулятора будем искать в виде

п-1

Подставляя (7.1.17) в (7.1.13) и вычитая из (7.1.13) уравнение (7.1.14), получим уравнение для ошибки е = у — ум :

в котором положительно-определенная матрица р является решением уравнения Ляпунова

A'MP + PA'M = -Q (7.1.22) (Q - произвольная положительно-определенная матрица).

Алгоритм (7.1.19), (7.1.20) исторически первый обоснованный алгоритм адаптив­ного управления с эталонной моделью. Он был получен в работах [7.5], [7.2]. Переходя к доказательству утверждения , введем в рассмотрение векторы

Принимая во внимание, что параметры амг-, аг-

О, га — 1) модели и объекта

постоянны, заключаем, что (7.1.28) совпадает с (7.1.19), (7.1.20).

Пример. Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением

у + олу + а0у = и + h2g, (7.1.29)

параметры которого а0, а\ , h2 неизвестны Требуется найти алгоритм настройки параметров регулятора

и = fj0(t)y + ГМі)у + fj2(t)g, (7.1.30)

при котором выход у объекта приближается к значениям выходной переменной эта­лонной модели, описываемой уравнением

Ум +ам1ум +ам0ут = hMg, (7.1.31)

с заданными параметрами. На основе (7.1.19), (7.1.20) получаем искомый алгоритм настройки

Ро = -7o-1(V + he)y; j

Pl2 , Р22 -

уравнения


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я