6.1 Понятие об адаптивных системах.

6.1.1 Понятие о неопределенных параметрах объекта. Гипотеза квази­стационарности

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается урав­нениями

х = ср(х, u, f, a); x(t0) = х^; (6.1.1)

у = w(x, и, х, а), (6.1.2)

где x(t) - п -мерный вектор переменных состояния объекта; y(t) - г -мерный вектор измеряемых переменных объекта; і (t) и %(t) - ц и г -мерные векторы внешних воз­мущений и помех измерения соответственно; at(t) - па -мерный вектор неизвестных параметров объекта; <р , w - известные вектор -функции своих аргументов.

Вместо уравнений (6.1.1), (6.1.2) часто используют уравнения первого приближе­ния, имеющие вид

х = A(t)x +B(t)u + 4!(t)f; (6.1.3)

у = D(t)x + x, (6.1.4)

где Ait) , Bit), Ф(^) , Dit) - матрицы, все или отдельные элементы которых a8J(t),
bik(t) , грі pit) , diiit)  = l,ra, к = l,m, / = l,r, /9 = 1,//), являются неопределен-

ными параметрами, из которых можно составить вектор а' = \ \a^\t), a.(2\t), o№{t), ol^a где

a(1)(t) = ||an(t), a12(t), ...,aln(t), a21(t), a22(t), ...||; (6.1.5)

aW(t) = \\bu(t), b12(t), ...,blm(t), b21(t), b22(t), ...||; (6.1.6) <x^(t) = \\фи(і), ф12(і), ...,<M*), ф21(і), ф22(і), ...||; (6.1.7)

aW(t) = \\du(t), d12(t), ...,dlr(t), d21(t), d22(t), ...\\. (6.1.8)

Природа неопределенных параметров может быть различной: а) неточное знание математической модели объекта; б) неполная информация о программном движении,

например, в случае, когда моменты перехода с одного режима работы объекта на дру­гой неизвестны; в) разброс параметров в пределах технологических допусков; г) "ста­рение" элементов объекта и т.п.

Объем сведений о параметрах объекта может быть различным. Если упорядочить эти сведения по мере их возрастания, то можно различить следующие случаи.

1. Неопределенные, ограниченные по модулю параметры. В этом случае функции cti(t) (і = 1,па) - произвольные неизвестные функции, удовлетворяющие нера­венствам

\at(t)\<a*, (6.1.9) где а* (і = 1,па) - заданные числа.

Параметры объекта являются случайными функциями времени с известным за­коном распределения вероятности, но неизвестными параметрами этого закона распределения. Например, известно, что закон распределения - гауссовский, но неизвестна корреляционная матрица процесса.

Параметры объекта являются случайными функциями времени с известным за­коном распределения и известными параметрами этого закона.

4. Функции а.і(і) (і = 1,па) заранее неизвестны, однако могут быть точно изме­рены в процессе работы объекта (6.1.1), (6.1.2).

5. Параметры объекта cti(t) (г = 1,па) - точно известные функции. Этот случай рассматривался в первой части книги.

Каждый из рассматриваемых случаев образует некоторое множество 0„ возмож­ных значений вектора a(t) , определяющее класс допустимых объектов.

Обычно параметры объекта изменяются медленнее, чем переменные состояния, и поэтому интервал [t0, t\] функционирования объекта разобьем на подинтервалы, в течение которых параметры объекта считаются постоянными. Полагая для простоты подинтервалы одинаковыми, запишем

выражает вместе с (6.1.10) гипотезу квазистационарности, в соответствии

с которой процессы, протекающие в объекте управления, разделяются на "быстрые" (изменение переменных состояния) и "медленные" (изменение параметров).

Таким образом, на каждом из подинтервалов объект (6.1.3), (6.1.4) описывается уравнениями

х = А^х + В^и + ¥Rk; RT <t<(R + 1)Т (R = T77V); (6.1.12)

у = £>(д)х + х; RT<t< [R+1)T (R = T77V), (6.1.13)

где       , B^ , ф(д),      - неизвестные матрицы чисел, составляющие в соот-

ветствии с (6.1.5) ... (6.1.8) вектор а неопределенных параметров объекта (6.1.12), (6.1.13). В связи с широким использованием ЭВМ для реализации адаптивных систем управления часто используют дискретную модель объекта

Для простоты изложения в этой части книги будут рассматриваться в основном одномерные объекты (когда у, и, / н х ~ скаляры), описываемые уравнениями

в которых b , d', ip , г п -мерные векторы-столбцы чисел, а индекс R в обозна­чениях матриц и векторов параметров для сокращения обозначений опущен, однако далее подразумевается, что эти уравнения описывают объект управления только на одном из интервалов квазистационарности его параметров.

Наряду с этим уравнением часто будет использоваться при х = О форма "вход-выход" описания объекта управления

Параметры аг-, ері, (г = l,n), kj , (j = 0 , 7 — 1) , A;p (/9 = 0, // — 1), , rp (г = 1 , /і — 1; /9 = 1, 7 — 1) этих уравнений нетрудно выразить через матрицы и векторы параметров уравнений (6.1.16), (6.1.17).

6.1.2 Понятие об идентификации

Рассмотрим стационарный объект, описываемый уравнениями (6.1.16), с неизвест­ными параметрами. Для построения регулятора необходимо определить (идентифици­ровать) его параметры. Здесь можно различить два случая: во- первых, когда внешние возмущения и помехи измеряются либо известны (например, fit) = x(t) = 0) , и, во-вторых, когда о них известны лишь границы области их возможных значений либо статистические характеристики (закон распределения и его параметры).

В первом случае для простоты будем полагать, что внешние возмущения и помехи отсутствуют. Тогда движения объекта

х = Ах + Ьш; y = dx; x(t0) = х(0) (6.1.20)

возбуждаются известным (измеряемым) входным сигналом uit) . Анализируя сигнал у it) на выходе можно определить параметры объекта. Уточним, какие параметры при этом определяются. Дело в том, что решение задачи - определение матрицы А и векторов b и d -по сигналам входа uit) и выхода у it) не единственно. Действительно, рассмотрим наряду с (6.1.20) систему уравнений

х \1 1. \ \/х • \1 Мы: у (1\/х: xi/,,! .\/х':":'. (6.1.21)

где М - произвольная, неособая (det М ф 0) матрица.

Если входное воздействие uit) = uit), то выходные сигналы обеих систем совпа­дают у it) = у it), хотя параметры матриц в них различны. В совпадении выходных сигналов нетрудно убедиться, преобразуя (6.1.21) по Лапласу и вычисляя

y(s) = dM(Es - M~lAM)'1 М~1Ы + dM(Es - \l ] AM ) 'Д/ 'x'"1 = = d(Es - А)-*Ьй + d(Es - A)_1x(0) = y(s)

при u(s) = u(s) .

В связи с этим возникает вопрос: а существует ли набор параметров, который единственным образом определяется на основе сигналов "вход-выход"?

Таким набором параметров для полностью управляемых и полностью наблюдаемых объектов являются параметры аг- (г = 0, п — 1) , kj (j = 0, 7 — 1) объекта в форме (6.1.18). Поэтому далее под идентификацией параметров объекта будем подразумевать определение его параметров в форме "вход - выход".

В главе 10 описаны методы идентификации параметров объекта (6.1.18).

Если обобщить алгоритмы, приведенные в этой главе, то процесс идентификации (оценивания) можно описать разностным уравнением

a[(k + 1)Г] = j(a(kT), у(кТ),..., у ((к - /н)Т), и(кТ),..., и((к - /і2)Г)) (А: = 0,1,2,...),

(6.1.22)

где а(кТ) - оценка вектора параметров в момент времени кТ ; ~у(а:(£;Т) ... у ((к—/н)Т), и(кТ), ... и((к — р2)Т)) - известная вектор-функция, которая зависит от метода иден­тификации.

Естественно, что решения уравнения (6.1.22) должны обладать свойством

Термин "идентификация" здесь и далее используется в узком смысле как опреде­ление параметров математической модели (6.1.16) объекта, структура которой (линей­ный характер дифференциального уравнения (6.1.16), его стационарность, размерность вектора переменных состояния п ) известна.

В широком смысле идентификация включает в себя определение по входу и выходу объекта структуры его математической модели, определение ее параметров и оценива­ние (восстановление) вектора его переменных состояния.

Структура модели определяется физическими законами, которые определяют дви­жение объекта (законы Кирхгофа, Максвелла, законы сохранения массы, энергии и импульса, законы распределения количества теплоты и энтропии). Из этих законов следуют нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые линеаризуются, а затем упрощаются (редуцируются) до обыкновенных дифференци­альных уравнений, определяющих структуру модели. Эти сведения образуют апри­орную информацию об объекте. Параметры объекта определяются в результате из­мерений входа и выхода объекта. Измерения и последующее вычисление параметров составляют апостериорную информацию. Схема идентификации (в широком смысле) приведена на рис. 6.1.1.

Переходя к построению алгоритма управления объектом (6.1.12), (6.1.13), приведем эвристические соображения, которые порождают важный класс алгоритмов управле­ния при неопределенных параметрах объекта.

В связи с этим рассмотрим следующие задачи, которые решает конструктор си­стемы стабилизации этим объектом:

идентификация (определение) параметров объекта управления;

синтез алгоритма работы регулятора (синтез регулятора) при известных пара­метрах объекта, обеспечивающего требуемое качество работы системы;

3)         конструирование регулятора, реализующего синтезированный алгоритм.
Поскольку параметры объекта (6.1.12), (6.1.13) изменяются, то эти три задачи

должны решаться в процессе работы объекта, притом решаться автоматически, без участия человека. Другими словами, если при неизвестных, но постоянных параме­трах объекта указанные задачи решались в процессе проектирования системы, то при изменяющихся во времени параметрах они должны решаться в естественных условиях работы объекта ("на борту" объекта) и в темпе работы объекта. Это означает, что ал­горитм регулятора должен изменяться в процессе работы системы, приспосабливаясь (самонастраиваясь, адаптируясь) за время Г к изменяющимся параметрам объекта так, чтобы качество работы системы оставалось неизменным. Для построения такого алгоритма запишем уравнение регулятора для объекта (6.1.18) с неопределенными па­раметрами

хр = Ар(сх)хр + Ър(а)у; и = dp(cx)xp + /р(а)у, (6.1.23)

где xp(t) - пр -мерный вектор состояния регулятора, Ар(а) - матрица, Ьр(ск) dp(o:) - векторы, fp(ot) - скаляр, зависящие от неизвестного вектора параметров (а) . За­висимости параметров регулятора (6.1.23) от параметров объекта (6.1.18) могут быть как аналитическими (заданными с помощью формул), так и алгоритмическими.

Последнее следует понимать в том смысле, что существует алгоритм (процедура), с помощью которого для каждого фиксированного вектора с* можно найти матрицу Ар вектора Ьр , dp и скаляр /р . В качестве таких алгоритмов могут выступать, в частности, процедуры синтеза оптимальных регуляторов, приведенные в главах 4, 5 и 6.

Если в результате идентификации определено истинное значение а* вектора с* , то, полагая в (6.1.23) а = а* получим искомый регулятор.

При таком подходе процесс управления не может быть начат, пока не закончится идентификация параметров и не будут вычислены (по формулам либо на основе проце­дур) матрица Ар(а*) , векторы Ьр(ск*) , dp(o;*) и скаляр fp(a*) регулятора (6.1.23).

Естественно, не дожидаясь окончания процесса идентификации, использовать оценки с* , доставляемые алгоритмом (6.1.22), и тогда уравнение (6.1.23) примет вид

хР = Ар(а)хр + Ър(а)у; и = dp(<*)xp + /р(а)у, (6.1.24)

Уравнения (6.1.22), (6.1.24) описывают идентификационный алгоритм адаптив­ного управления. Системы с идентификационным алгоритмом называют параметри­чески адаптивными системами.

Отметим, что уравнения (6.1.24) также можно записать в форме "вход - выход":

г=0 j=0

Пример. Пусть объектом управления является некоторый химико- технологиче­ский процесс, протекающий в замкнутом резервуаре-реакторе [?]. В моменты времени О, Т, 2Г, кТ, ... в реактор поступает сырье, имеющее температуру f(k) (па­раметр Т, как и ранее, опускаем), и доза катализатора и(к) . Количество продукта реакции у (к) зависит от концентрации промежуточного вещества х(к) :

у(к) = dx(k), (6.1.27) а величина х{к + 1) определяется значениями х(к) , и(к) , f(k):

х(к + 1)=ах(к) + Ьи(к) + ф/(к) (к = 0,1, 2,...). (6.1.28)

Величины у (к) и f(k) (к = О,1, 2,. . .) доступны непосредственному измерению, а доза катализатора и(к) (Л; = 0,1,2,...) является управляющим воздействием, которое влияет на ход процесса.

Коэффициенты а, 6, ф, d соотношений (6.1.27), (6.1.28) зависят от активности катализатора, скорости протекания реакции, конструкции установки и т п.

Пусть целью управления является поддержание выходного продукта у (к) на за­данном уровне д = const . Если значения параметров а , Ъ, ф , d известны точно, то легко построить алгоритм работы регулятора, обеспечивающего достижение цели управления Этот алгоритм имеет вид

и(к) = У-^-Ф^). (6.L2Q) do

Действительно, подставляя (6.1.29) в (6.1.28), получим, что

у(к+1)=д. (6.1.30)

В реальных условиях многие факторы, от которых зависят параметры а, 6, ф, d недоступны непосредственному измерению либо могут изменяться во времени неиз­вестным образом (например, активность катализатора меняется при его отравлении, при переходе на новую партию катализатора и т д.). Поэтому управление осуществля­ется в условиях неопределенности, когда законом управления (6.1.29) воспользоваться нельзя.

Переходя к построению идентификационного алгоритма адаптивного управления, обозначим

«і = а, а2 = 6, «з = ф, «4 = б? (6.1.31)

и запишем закон управления (6.1.29) как функцию неопределенных параметров аг-(г = Т74) :

и(к) = --^-у(к) - ^f(k) + J—g. (6.1.32)

а2а4     а2а4 a2ct4

Для определения коэффициентов закона управления (6.1.32) идентифицируем па­раметры объекта (6.1.27), (6.1.28), уравнения которого можно с учетом введенных обо­значений записать в виде

у (к + 1) = а\у{к) + а4а2и(к) + а3а4/(А;) (к = 0,1, 2,...). (6.1.33) При А; = 0,1,2 получим систему из трех алгебраических уравнений:

у(1) = «iy(0) + a2a4u(0) + а3а4/(0);

у(2) = «iy(l) + a2a4u(l) + a3a4f(l); (6.1.34) у(3) = «iy(2) + а2а4и(2) + а3а4/(2),

решая которую найдем числа а\ , а^о*А , а^а*А . Подставляя эти числа в (6.1.32), полу­чим управление, обеспечивающее достижение цели (6.1.30).

Уравнение (6.1.32) вместе с процедурой решения алгебраических уравнений (6.1.34) образуют алгоритм идентификационного адаптивного управления.

Заметим, что столь простой алгоритм адаптивного управления обусловлен во мно­гом доступностью для измерения f(k) и отсутствием помех в измерении у (к) . Если f(k) недоступно непосредственному измерению либо присутствуют помехи в измере­нии, это приводит к процессу идентификации, описываемому уравнением вида (6.1.22).

6.1.4 Прямой алгоритм адаптивного управления. Функционально- ада­птивные системы

Идентификационный алгоритм (6.1.22), (6.1.23) адаптивного управления в сущно­сти является моделью процесса проектирования, осуществляемого в темпе работы объ­екта, и идентификационная часть этого алгоритма вызвана скорее прототипом (в ка­честве которого выступает процесс проектирования), чем существом задачи. Дело в том, что алгоритм идентификации слабо связан с целью управления, хотя и слу­жит ее достижению. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли избежать иден­тификации и искать законы изменения параметров регулятора (6.1.23) исходя непо­средственно (прямо) из целей управления?. Другими словами, параметры регулятора (6.1.23) должны изменяться в зависимости от значения критерия качества работы си­стемы (от функционирования системы).

Такие алгоритмы называют прямыми алгоритмами адаптивного управления, а си­стемы, использующие эти алгоритмы, называются функционально- адаптивными си­стемами управления. Так, для объекта (6.1.18) эти алгоритмы описываются уравнени­ями:

— 1) - функции, зависящие от критерия качества системы (цели управления). Уравнения (6.1.36) описывают алгоритм настройки параметров.

Дискретные прямые алгоритмы адаптивного управления описываются разностными уравнениями

Пр /ір

Пример. Построим прямой алгоритм адаптивного управления химико- технологи­ческим процессом, описанным в примере 6.1.1.

В соответствии с (6.1.29) уравнение регулятора этого процесса имеет вид

и(к) = Мк)у(к) + fh{k)g + fh{k)f{k) (А: = 0,1,2,...), (6-1.39)

где (Зо(к) , (3\(к) , (32(к) - настраиваемые параметры (коэффициенты).

Требуется найти закон изменения этих параметров, при котором достигается цель управления (6.1.30).

Для нахождения такого закона введем критерий качества

J(k+l) = (y(k + l)-g)2 (6.1.40)

и тогда цель управления может быть интерпретирована как минимизация функции (6.1.40). Для ее минимизации применим градиентный метод, состоящий в измене­нии настраиваемых параметров в направлении, противоположном градиенту функции J(k + 1) по настраиваемым параметрам.

Выражая J{k + 1) через эти параметры, получим

J(k + 1) = [ау(к) + d</>f(k) + db((30(k)y(k) + №)д + p2(k)f(k)) - д}2. (6.1.41)

Вычисляя теперь частные производные функции (6.1.41) по (30(к) , (3\(к) , (32(к) , приходим к алгоритму (6.1.38) настройки параметров:

(30{к + 1) = (30{к) - 2аі(к)(у(к + 1) - g)dby(k); 1

fMk + 1) = fMk) - 2a1(k)(y(k + 1) - g)dbg; (6.1.42)

(32(k + 1) = (32(k) - 2a1(k)(y(k + 1) - g)dbf(k), J

где a\(k) > 0 - коэффициент пропорциональности. При правильном выборе этого коэффициента

lim J{k+1) = 0. (6.1.43)

к—>оо

Это означает, что прямой алгоритм (6.1.39), (6.1.42) адаптивного управления химико-технологическим процессом обеспечивает достижение цели управления (6.1.30). Правда, эта цель достигается не на первых нескольких шагах, как в идентификационном алго­ритме, а при достаточно большом числе шагов управления.

При наличии помех в измерении у (к) требование (6.1.30) следует ослабить и цель управления формулировать как требование выполнения неравенства

где величина А > 0 должна быть согласована с уровнем помех.

Соотношение (6.1.44) означает, что для любой траектории системы (6.1.27), (6.1.28), (6.1.39), (6.1.42) существует момент времени к* , начиная с которого J{k + 1) < А .

идеальное слежение. Если требуется отработать задающее воздействие git) , то невязку принимают в виде

e(t) = y(t) - g(t); е(к + 1) = у(к + 1) - д(к). (6.2.7)

системы с эталонной моделью. Системы с эталонной моделью составляют обширный класс адаптивных систем, в которых желаемое движение задается эта­лонной моделью, являющейся физическим устройством, описываемым уравнени­ями

(6.2.8)

либо в общем случае нелинейным уравнением

хм = ^м(хм, д); Ум = шм(хм), (6.2.9)

в которых хм - пм -мерный вектор переменных состояния эталонной модели; Ам - заданная матрица чисел; фм , dM - заданные векторы чисел, которые определяются с использованием обычных методов синтеза. Это относится и к вектор-функции фм и функции wM . Выход yM(t) эталонной модели описывает желаемое движение (цель управления) системы при заданном (измеряемом) за­дающем воздействии git) . Отклонение от желаемого движения

e(t) = y(t) - yM(t); е(к + 1) =у(к + ї)-ум(к + ї). (6.2.10)

Зависимость оценочной функции (критерия качества) (6.2.2) от ошибки eit) при­нимается различной в зависимости от объема информации о внешних возмуще­ниях и помехах, действующих на объект (6.2.1).

Если упорядочить сведения о внешних возмущениях и помехах по мере возрастания информации о них, то можно различить:

а) неопределенные, ограниченные по модулю внешние возмущения и помехи, когда f(t) і xif) суть произвольные неизвестные функции, удовлетворяющие неравен­ствам

\f(t)\<f, Ш\<Х, (6-2.11)

где /, х ~ заданные числа;

б) случайные внешние воздействия и помехи с неизвестным законом распределения, но ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями:

где /* , x* , (jj , сг* - заданные числа;

в)         внешние воздействия и помехи - случайные процессы, законы распределения ко-
торых известны, но не известны параметры этих законов распределения. Эти
параметры включают во множество 0„ и тогда оно описывает класс допусти-
мых объектов и возмущений;

г)         внешние воздействия и помехи - случайные процессы с известными законами рас-
пределения и заданными параметрами этих законов.

Если внешние воздействия и помехи - неопределенные, ограниченные по модулю, то цель управления задается неравенством

q(e(t))<A; q(e(k+l)) < А, (6.2.14)

где А - заданное положительное число, согласованное с уровнем помех и внешних воздействий.

При случайных воздействиях цели управления принимают вид

М {q(e(t))} < A; M{q(e(k + 1))} < А. (6.2.15)

Естественно, что из-за недостатка информации о параметрах объекта целевые усло­вия (6.2.14) или (6.2.15) не будут выполняться на начальном этапе функционирования объекта, поэтому требуют, чтобы цель достигалась асимптотически - при достаточно большом t (или к) или при t —У оо (к —У оо) .

Таким образом, приходим к заданию цели в виде предельных неравенств

limg(e(t)) < A; limq(e(k + 1)) < А (6.2.16)

при неопределенных воздействиях и неравенств

limM {q(e(t))} < A; lim М {q(e(k + 1))} < А (6.2.17)

при случайных внешних воздействиях и помехах.

Отметим, что наряду с "локальными" критериями вида (6.2.14) иногда используют интегральные критерии с переменным верхним пределом

6.2.2 Структура адаптивных систем

Идентификационный и прямой алгоритмы адаптивного управления объектом (6.2.1) описываются уравнениями

хр = ^р(хр> У, 9, /3); и = и?р(хр, у, (3); xp(t0) = хр0),; (6.2.19)

/3 = 7(/3, у, и, д), (3(t0) = (3^\ (6.2.20)

где (3{t) - пр -мерный вектор настраиваемых параметров регулятора (в случае иденти­фикационного алгоритма (3{t) является оценкой вектора неопределенных параметров а); (рр} 7р - пр и пр -мерные вектор-функции своих аргументов, подлежащие, как и функции и?р , определению исходя из заданных целей управления (6.2.16) или (6.2.17).

Уравнения (6.2.19) описывают алгоритм работы регулятора, а уравнения (6.2.20) -алгоритм адаптации.

Устройство, реализующее алгоритм адаптации, называется адаптером [?].

Таким образом, адаптивный регулятор состоит из регулятора и адаптера. Струк­турная схема адаптивной системы приведена на рис. 6.2.1.

Рис. 6.2.1

Регулятор, приведенный на этом рисунке, состоит из двух частей: управляющего устройства (последовательного корректирующего контура) и управляющего устрой­ства в цепи обратной связи (параллельного корректирующего контура). Первая часть содержит настраиваемые параметры, вторая - неизменна. Часто говорят, что объект вместе с регулятором - это основной контур регулирования, а изменяющаяся часть регулятора и адаптер составляют контур адаптации (контур самонастройки). Если цель управления задается с помощью эталонной модели, то структурная схема прини­мает вид. приведенный на рис. 6.2.2.

Рис. 6.2.2

6.2.3 Постановка задачи синтеза адаптивного регулятора и этапы ее ре­шения

Задача синтеза адаптивного регулятора состоит в определении (по уравнениям (6.2.1) объекта, множеству 0„ и цели (6.2.16) либо (6.2.17)) алгоритма регулирова­ния (6.2.19) и алгоритма адаптации (6.2.20), такого, чтобы для любого вектора чисел а Є fla и любых начальных условий х^0) , хр°) , (3^ достигалась цель управления (6.2.16) либо (6.2.17).

Возможность (существование) решения этой задачи зависит прежде всего от цели управления, при задании которой необходимо учитывать уровень (объем) априорной информации об объекте и возмущениях. Здесь существенную роль играет величина "порога" А. К наиболее простым относятся задачи синтеза, в которых величина А не фиксирована и требуется, чтобы целевое неравенство было выполнено при каком-нибудь А > 0 . Такие задачи возникают, когда априорная информация об интенсив­ности внешних возмущений и помех отсутствует, а объект управления неустойчив и требуется лишь обеспечить ограниченность выхода yit) . Другой крайний случай воз­никает, когда значение А взято минимально возможным, равным нижней грани левой части соответствующего неравенства (6.2.16), (6.2.17). Такие задачи называются за­дачами оптимального адаптивного управления. Критериями оптимальности в таких задачах являются функционалы

Отметим, что в приведенной формулировке задачи синтеза фигурирует вектор чи­сел а , тогда как в содержательной задаче адаптивного управления, описанной в

6.1,

этот вектор зависит от времени. Это противоречие сглаживается следующими рассу­ждениями. Во-первых, изменение вектора а во времени можно описать часто форму­лой

которых и составляет вектор чисел ol .

Во-вторых, выполнение целевых неравенств (6.2.16) либо (6.2.17) означает, что су­ществует момент времени tx (а, (З^) , такой, что

где є > 0 - некоторое достаточно малое заданное число, характеризующее точность достижения цели управления. Если

*х(а, /3(0)) < Г, (6.2.25)

то цель управления достигается (с точностью до є) в течение интервала квазистацио­нарности параметров объекта.

Заметим, что при формулировке задачи синтеза подразумевается, что в случае пря­мого алгоритма адаптивного управления уравнение (6.2.20) обладает свойством

lim f3(t) = /3*, (6.2.26)

t—>oo

где (3* - вектор чисел, такой, что регулятор

хр = <£>р(хр, у, д, /3*); и = wp(x, у, /3*); xp(t0) = хр0),; (6.2.27)

совпадает с регулятором, который получился бы, если решать задачу синтеза регуля­тора для объекта (6.2.1), в котором вектор с* равен истинному значению а* .

В случае идентификационного алгоритма управления решения (6.2.20) обладают свойством

lim (3{t) = а\ (6.2.28)

t—>оо

При решении сформулированной задачи синтеза адаптивного регулятора можно различить следующие этапы [6.10]:

1. Построение закона управления (алгоритма регулирования) . На этом этапе стро­ятся функции (р , и?р уравнений (6.2.19). Способы построения этих функций для линеаризованных моделей объектов управления были указаны выше. Так, для идентификационных алгоритмов адаптивного управления искомый закон упра­вления описывается уравнением (6.1.23) либо в форме "вход - выход" (6.1.25), а в случае прямых алгоритмов он имеет вид (6.1.35).

Выбор класса алгоритмов адаптивного управления. Здесь принимается решение о выборе идентификационного либо прямого алгоритма адаптивного управления.

Выбор алгоритма адаптации (6.2.20).

Определение параметров алгоритма адаптации из условий сходимости процесса адаптации и достижения цели адаптации.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я