5.1 Критерий оптимизации

5.1.1 Частотная передаточная матрица системы

Рассмотрим систему стабилизации, описываемую уравнениями

х = Ах + Ри + Фі, у = Р>х + ае, в = Ах, (5.1.1)

хр = АрХр + Бру, u = DpXp + Fpy. (5.1.2)

Пусть эта система асимптотически устойчива при / = 0 и ае = 0 .

Построим матрицу Tej(s) , связывающую вектор регулируемых переменных в it) с

вектором возмущений fit) = |fT(t), aeT(t)J , составленным из внешних воздействий и помех.

Уравнения объекта (5.1.1) можно записать как

в{.з) = Pu(s)f + P12(s)u, у = P21(s)f + P22(s)u, (5.1.3)

где

Pu(s) = N(Es- А)-' Ф,  P12(s) = N(Es- А)~ Р,

P21(s)={D(Es-A)-1y}Er}} P22(s) = D(Es-A)-1B} Ф = [Ф, 0nXJ

(квадратные скобки здесь означают объединение матриц: Ф и нулевой матрицы раз­меров п X ае и матрицы D (Es — А) 1 Ф с единичной матрицей размеров г X г ).

Уравнение регулятора (5.1.2) запишем в виде

u = K(s)y         (5.1.5)

где K(s) = Dp {Es - Ар)"1 Вр + Fp .

Подставим в (5.1.5) выражение (5.1.3) для измеряемого вектора и получим u = K(s)P21(s)f + K{s)P22{s)u или

u = TuI(s)l       (5.1.6)

где

Tuf{s) = [E- K(s)P22(s)]-1 K(s)P21(s)           (5.1.7)
Используя (5.1.6) запишем выражение (5.1.3) для регулируемого вектора как

6{s) = Tef(s)l где искомая матрица Tqj(s) имеет вид

TeJ{s) = Pn{s) + Р12 [Е - K(s)P22(s)}-1 K{s)P21{s) (5.1.8)

Пусть s = jw , тогда Tej{juj) - частотная передаточна матрица системы (5.1.1), (5.1.2)

Для выяснения физического смысла этой передаточной матрицы рассмотрим реак­цию системы (5.1.1), (5.1.2) на гармоническое возмущение

f(t) = fssmuJt, (5.1.9)

где іs - заданный Д -мерный вектор чисел (Д = ц + г) , - частота возмущения. В установившемся режиме it —У оо) регулируемые переменные имеют вид

et(t) = at(uf)sm(ujft + Lpt) (г = Т7т). (5.1.10) Найдем связь амплитуд аг-(аУ) (г = 1,ш) вынужденных колебаний с элементами

матрицы Tet(juj-f ).

Учитывая, что s'muH =        —        , обозначим реакции рассмативаемой си-

стемы на езш * и е зш * как

в+ = Tef(jujf)re3Ujf\ в~ = Tef(-ju}f)fse-juft. (5.1.11)

Q+ _ 0 —

Нетрудно показать, что 6(t) =         —        .

Вводя вектор q(cuf) + jp(a/) = Tej(ja/)is запишем

0+ = \q(u>i) + jp(^)] e^S\ в- = [фУ - jp(^)] e~^St.     (5.1.12)

Используя эти выражения, получим после несложных преобразований

и таким образом, амплитуды вынужденных колебаний (5.1.10) связаны с элементами частотной передаточной матрицы как

at(ujf) = ^г2И) + р1{ші) (г = 1,га) Заметим также, что из (5.1.12) и (5.1.13) следует

а2(ш1) = в+в- (г=ї7га").

(5.1.13)

(5.1.14)

5.1.2 Понятие Ноо -нормы частотной передаточной матрицы

Вначале рассмотрим заданную матрицу чисел Г размеров га X Д . Если эта матрица квадратная (Д = га) , то ее собственные числа АЛТ] (г = 1, га) находятся как корни по­линома d(s) = det(Es-T) . Если (Д ^ га) (далее для простоты (га > Д) , то такой поли­ном построить нельзя, и поэтому находят сингулярные числа сгЛГ] (г = overlinel, Д) , в общем случае комплексной матрицы, определяемые как

где Г* - комплексно-сопряженная с Г и транспонированная матрица. (Если Г = Ti-\-jT2 , то r* = [T1-JT2]T = riT-JT2T).

Пусть матрица Г является функцией jw : T(jw) = Т\[ш) + jT2{u) , тогда сингу-

лярные числа зависят от ы : сгЛГ^'си)] = уАг- [Гт(— jcu)T(ja;)] (г = 1,/і) Возвращяась к передаточной матрице системы, запишем

Определение Ноо нормой пе Tgf(juj) , либо более просто как

называется число

эедаточной матрицы TeAju) , обозначаемой как

в!

Tej{jw) = max sup \ах \Tgj(ju

оо 1<г<тп 0<ш<оо 1 1

T6f(ju)

(5.1.17)

Физический смысл этого числа заключается в следующем. Пусть система имеет ска­лярную регулируемую переменную (га = 1) . В этом случае Ai (Tej(—juj)Tej(juj)

2

Tej{ju) = а\(ш) , где    - амплитуда колебаний регулируемой переменной си-

Ге-

стемы, возбужденной возмущением fi = 1 - sin cut, и Ноо норма передаточной функции = sup0<ttKoo |ai(cu)| является установившемся максимальным значе-

системы

нием амплитуды колебаний при различных значениях частоты и .

В общем случае физический смысл Ноо нормы раскрывается следующим ее свой­ством.

Свойство Если система (5.1.1), (5.1.2) возбуждена гармоническим возмущением (5.1.9), то отношение суммы квадратов амплитуд выхода и суммы квадратов амплитуд входа удовлетворяет неравенству

не имеет собственных чисел на мнимой оси: Re Аг [Г] =0 (г = 1, 2га) . ■ Следствие Чтобы найти минимальное значение 7 = 7m;n выбираем некоторое число 7 > 0 и проверяем, нет ли среди собственных чисел Г чисто мнимых, если нет, то уменьшаем 7 ,вновь вычисляем собственные числа матрицы Г и так далее до тех пор, пока при некотором 7m;n не приблизимся, с заданным допуском, к значению Re Аг [Г] =0 (г = 1, 2га), и тогда

Таким образом, Ноо норма может быть вычислена посредством иттеративной про­цедуры вычисления 7m;n вместо нахождения максимумов функции ai[T(jw)] (і = 1,га) для всех частот и .

5.1.4 Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим объект (5.1.1), в котором внешние возмущения и помехи являются не-измеряемыми, неизвестными сигналами с ограниченной энергией. Последнее означает, что

В этом случае говорят также, что L2 норма функции f (t) ограничена. Введем также вектор z = ^в7', uTj и тогда передаточная матрица Tzj{s) , связы­вающая вектора z и f , имеет вид

TzI(s) = [Tjj(s) T^sf (5.1.25)

Задача Для заданного полностью управляемого и полностью наблюдаемого объ-
екта (5.1.1) найти регулятор (5.1.2) такой, чтобы норма передаточной матрицы
Tzf(jw) этой системы принимала наименьшее значение

= min. (5.1.26)

Отличие этой задачи от задач АКОР и стохастической оптимизации состоит пре­жде всего в том, что теперь f(t) - неизвестный, неизмеряемый вектор. В задаче АКОР внешние возмущения отсутствуют, либо являются измеряемыми исчезающими функциями, а в стохастической оптимизации это случайные процессы с известными статистическими свойствами.

Неравенство (5.1.24) означает, что f(t) - исчезающая функция (lim f(t) = 0) . Од-

t—>оо

нако она неизвестна. Это обстоятельство и более содержательный критерий оптими-
зации (в виде нормы передаточной матрицы системы) делают эту задачу более
трудной для ее решения, чем ранее рассмотренные.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я