4.1 Оптимальное управление при измеряемом векторе состояний

Рассмотрим нестационарный объект управления

х = A(t)x + B(t)u + *(t)f; x(t0) = x(0), (4.1.1)

где f (t) - Ц -мерный вектор внешних возмущений, являющийся гауссовским случай­ным процессом типа "белый шум". Здесь и далее будем полагать, что математическое ожидание

M{f(t)} = 0. (4.1.2) Ковариационная матрица этого процесса

Rf(t', t") = М {і (t')f'(t")} = R}l\t)8{t' - t"), (4.1.3)

где R^(t) - положительно-определенная матрица размеров ц X ц , характеризующая интенсивность "белого шума" в момент времени t'.

Пусть начальное состояние х^0) также является гауссовским случайным вектором, не зависящим от внешних возмущений и имеющим при М |ж(°) j = 0 ковариационную матрицу

М{х(°)х(°)'} = (4.1.4)

Рассмотрим критерий

J = М || [x'Q(t)x + u'u] + x'^OP^xfr) j , (4.1.5)

где Q(t) - положительно-определенная матрица.

Требуется найти управление u(t) как функцию текущей и прошлой информации об x(t) , при котором (4.1.5) принимает наименьшее значение.

Так как текущая информация об x(t) носит случайный характер, то и формиру­емое на ее основе оптимальное управление будет случайным (стохастическим) упра­влением.

Неожиданным оказывается тот факт, что наличие "белого шума" в уравнении (4.1.1) не изменяет оптимального управления, которое было получено ранее (в

 3.1) при отсутствии внешних возмущений. Изменяется лишь значение минимума критерия. Сформулируем этот результат [1.4], [3.7].

Утверждение Оптимальное стохастическое управление для объекта (4.1.1), при котором функционал (4.1.5) принимает наименьшее значение, имеет вид

где an (і = l,n) - диагональные элементы матрицы А.)

Рассмотрим теперь стационарный случай, когда матрицы, входящие в уравнение объекта (4.1.1), и функционал (4.1.5) постоянны, а интенсивность стационарного "бе­лого шума" характеризуется матрицей чисел Р^ . Наименьшее значение функционала оптимизации имеет вид

minJ = tr |p(t0)P(0) + j ФР(1)Ф'Р(^) c/tj . (4.1.11)

Во многих практических случаях время функционирования системы велико. Тогда полагают в функционале оптимизации t\ —У оо и значение функционала

min J = trP°i?(°) + (U - ^о)ФР(1)Ф'Р°, (4.1.12)

где Р° - установившееся решение матричного уравнения Риккати (3.1.15). Очевидно, что при t\ —У оо число min J —У оо .

Причиной этой ситуации является неограниченная энергия случайного процесса типа "белый шум", поэтому при t\ —У оо вместо функционала (4.1.11) принимают функционал

Для стационарных систем этот функционал можно записать как

J = lim t 1 t M j j (x'Qx + u'u) c/t| . (4.1.14)

Пример. Оптимальное стохастическое управление гирорамой. Рассмо­трим гирораму, описываемую уравнениями (3.1.23), в которых fit) - стационарный случайный процесс типа "белый шум" с интенсивностью = 103 . Причиной та­кого внешнего возмущения являются высокочастотные вибрации, которые приводят к случайным изменениям сухого трения относительно оси 0Y .

Требуется найти закон управления, при котором функционал

J= lim л 1 М \ f (qllX2 + q22x22 + q33x23 + и2) dt) (4.1.15) ti-юо ti — t0 [/ J

принимает наименьшее значение.

Пусть параметры гирорамы и функционал оптимизации определяются равенствами (3.1.55), а значение

Фзі = 10"J, (4.1.16)

тогда оптимальное управление имеет вид (3.1.24), а его параметры с\ , с2 , с3 опреде­ляются соотношениями (3.1.58).

Вычислим значение функционала (4.1.15) при оптимальном управлении.

Поделим (4.1.12) на t\ — t0 и положим t\ —У оо , тогда

minJ = т,гФР(1)Ф'Р° = tr

<Zn< + g22< + Фз< +<т2и = 116 • 103, (4.1.19)

где а2, (г = 1,2,3) - дисперсия жг-, аи - дисперсия и. Используя это равенство, можно получить оценку дисперсии по каждой из переменных состояния.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я