3.4 Точное управление

 3.4.1 Постановка задачи

Рассмотрим асимптотически устойчивую систему управления, описываемую урав­нениями

х = Ах + Би + Фі, у = £>х, в = Ах (3.4.1)

хр = АрХр + Ври, и = DpX+Fpy (3.4.2)

Эти уравнения являются стационарным случаем уравнений (1.3.9) - (1.3.12). Пусть компоненты /і -мерного вектора возмущений f(t) являются следующими полигармоническими функциями

где р - известное число гармоник, /* (г = 1,/і) - заданные числа.

Установившимися ошибками по регулируемым переменным являются числа

@і уст = lim sup |#;(t)| (3.4.5) Задача точного управления[3.23] состоит в следующем.

Для заданного объекта (3.4.1) найти числовые матрицы Ар , Вр , Dp и Fp регуля­тора (3.4.2) такие, чтобы система (3.4.1), (3.4.2) удовлетворяла требованиям к точности

0,-,уст < 01 (3.4.6)

где 6* (і = 1,ш) - заданные числа.

Частные случаи этой задачи исследовались в [3.20], [3.22]

Решение этой задачи может не существовать для любых чисел 6* (і = 1, га) . Вве­дем два вида объектов, для которых она разрешима.

Первый вид объектов описывается (3.4.1), в которых Ф = В , у = х, (переменные состояния измеряются), /і = га .

Второй вид объектов характеризуется тем, что вектора регулируемых и измеряе­мых переменных совпадают (в = у, N = D} г = га) и кроме того, объект управления является минимально - фазовым.

Последнее означает, что корни полинома det ||_Dadj(£'s — А)_Е?|| , где adj - символ присоединенной матрицы, имеют отрицательные вещественные части.

Управление объектами первого вида

Объект первого вида описывается уравнением, которое называется уравнением с возмущением, приложенным к входу объекта

х = Ах + Б(и + і), # = Ах (3.4.7)

и искомый регулятор, обеспечивающий выполнение требований (3.4.6) имеет вид

и = С'х. (3.4.8)

Для решения задачи применим процедуру АКОР, в которой в качестве функцио­нала оптимизации примем следующий

В этом случае матрица Q в уравнениях Риккати (3.1.15) имеет вид Q = N'Q0N.

Утверждение. Для построения регулятора (3.4.8), обеспечивающее выполнение требований к точности (3.4.6) при полигармоническом возмущении (3.4.3) доста­точно использовать процедуру АКОР для объекта (3.3.1) и функционала (3.4.9), с коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам

m

Доказательство утверждения приведено в [3.24].

Управление объектами второго вида

Так как в этих объектах вектор состояния не измеряется, то необходим наблюда­тель, и поэтому регулятор описывается уравнениями вида (3.2.40) - (3.2.42):

х = [А - KD]k + Ку + Ви, u = C"x. (3.4.11)

Нетрудно видеть, что матрицы уравнения (3.4.2) имеют в рассматриваемом случае вид

Ар + А - KB + ВС, ВР = К, DP = C, Fp = 0. (3.4.12)

Для решения задачи точного управления преобразуем уравнения объекта (3.4.1) к виду (3.3.35). В связи с этим запишем на основе уравнения (3.4.1)

y(s) = d(Es - A)_1£u(s) + d(Es - A)_1*f (s) (3.4.13)

и определим вектор f (t) эквивалентных внешних возмущений, приведенных ко входу объекта, соотношением

f (s) = [d(Es - A)-1]_1 d(Es - A)~lm (s) = TJf(s)i (s) (3.4.14) и тогда выражение (3.4.13) принимает вид

y(s) = d(Es - A)"1JB(u + f) (3.4.15)

Минимально - фазовость объекта гарантирует отрицательность вещественных ча­стей полюсов передаточной матрицы Tjj(s) и поэтому существует ограниченная век­тор - функция f it), удовлетворяющая соотношению (3.4.14).

Уравнение (3.4.15) можно теперь записать в виде (3.4.7)

х = Ах + Б(и + Ї), (3.4.16)

и использовать для построения матрицы С в (3.4.11) утверждение 4.3.2. Однако перед

m

этим необходимо найти сумму границ ^ Ї)*2 (к = 1,ш) "возмущения" f(t) .

k=i

В связи с этим отметим, что всегда найдется число ц такое, что выполняется не­равенство

Efk = ET^(-juk)T-ff(juk)h < п2ЇІЇк 0 < шк < оо, к = —р. (3.4.17)

где fk и fk га - мерные вектора амплитуд исходного и эквивалентного возмущений. Суммируя эти неравенства, получим

d(o)

где г0 - положительно-определенная матрица, являющаяся решением следующего уравнения Риккати

реа' + аре - ped'dpe + qc + (3BVBT = 0, (3.4.20)

Утверждение. Матрицы С и К регулятора (3.4.11), обеспечивающего выполнение требований (3.4.6) к точности, находятся с помощью уравнений Риккати (3.1.15), (3.4.20), в первом из которых

m

рп2 е я2

а во втором Qc и V - произвольные неотрицательно-определенные матрицы, а по­ложительный коэффициент р - достаточно велик.

3.4.4 Программное обеспечение и практикум

ГАММ А-директива: 113.1 (Точное управление объектом второго вида). Исходные данные:

а)         Уравнение объекта с учетом внешних возмущений.

б)         Матрица D уравнения измеряемых переменных,которые совпадают с регулиру-
емыми: в = у .

в)         Вектор границ внешних возмущений.

г)         Вектор границ допустимых значений установившихся ошибок.

д)         Неотрицательная матрица V в уравнении Риккати (3.2.59)для наблюдателя.(Эта
матрица названа матрицей Доула )

е)         Положительный параметр р , на которое умножается эта матрица.
Результаты:

а)         Матрицы С и К регулятора (3.4.11).

б)         Графики переходных процессов по регулируемым переменным.

Используя директиву 113.1 выполняется практикум Пр.2.4.Одна из его целей со­стоит в исследовании инженерных показателей .


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я