3.3 Частотные свойства оптимальных систем

 3.3.1 Условие оптимальности в частотной форме

Процедуры аналитического конструирования регуляторов и построения наблюда­телей образуют эффективный метод синтеза регуляторов систем, качество которых оценивается с помощью интегрального показателя. Однако часто оказывается, что

е)         Время моделирования переходных процессов.
Результаты:

технические требования к системе трудно непосредственно выразить с помощью такого показателя, поэтому возникает задача выбора коэффициентов функционала оптимиза­ции по заданным требованиям к точности и качеству системы. Для ее решения нужно установить связь между структурой и параметрами функционала оптимизации, с од­ной стороны, и показателями качества (временем регулирования, перерегулированием, запасами устойчивости по фазе и модулю) и точностью (установившимися ошибками при внешних возмущениях) - с другой.

Установление такой связи опирается на условие оптимальности в частотной форме [3.17].

Переходя к этому условию, рассмотрим систему

где определенно-положительная матрица Р является решением алгебраического урав­нения

в котором А и В - заданные матрицы, удовлетворяющие условию управляемости.

Преобразуя (3.3.1), (3.3.2) по Лапласу при нулевых начальных условиях, запишем передаточную матрицу этой системы в разомкнутом состоянии

Wpa3(s) = -C'(Es-A)-1B, (3.3.6)

где s - комплексное число.

Прибавим и вычтем из левой части (3.3.5) произведение sP и умножим полученное равенство слева на B'(Es — А)-1 , а справа на (Es — А)-1 , тогда

Вводя обозначение H(s) = H(Es — A) lE> , где Н'Н = Q , и учитывая (3.3.4), запишем (3.3.7) в виде

-B'(Es - А)'1'С - C'(Es - A)~lE> + B'(-Es - A)-l'CC\Es - A)~lB = H'(-s)H(s).

Прибавляя к обеим частям единичную матрицу и учитывая выражение (3.3.6) для передаточной матрицы разомкнутой системы, получим окончательно

[Ет + Wpa3{-s)'][Em + Wpa3(s)} = Ет + H'(-s)H(s). (3.3.8) Полагая s = ju , получим условие оптимальности в частотной форме

[Ет + Wpa3{-ju)]'[Em + Wpa3(ju)] = Ет + H'(-jLo)H(jto). (3.3.9)

Это условие выполняется для всех вещественных и и связывает частотную пере­даточную матрицу Wpa3(ju) оптимальной системы с параметрами функционала опти­мизации.

В дальнейшем изложении большую роль будет играть случай скалярного управле­ния (m = 1) . В этом случае уравнения (3.3.1), (3.3.2) имеют вид

х = Ах + Ьш; (3.3.10)

м = с'х, (3.3.11)

где и - скаляр; b и с - п -мерные векторы-столбцы. Передаточная функция этой системы

wpa3(s) = -c'(Es - A)_1b. (3.3.12)

Условие оптимальности (3.3.9) принимает при скалярном управлении вид

где hi(juj) (і = l,n) - дробно-рациональные функции, являющиеся компонентами вектора H(Ejuj —

3.3.2 Коэффициент передачи и частота среза

Подпись:
Найдем связь между коэффициентами функционала

 

(3.3.14)

(где для простоты Q = diag[gn,. . ., qnn] , qu > О, і = 1,п) в смысле которого опти­мальна система (3.3.10), (3.3.11), с одной стороны, и коэффициентом передачи кр и частотой среза игр этой системы - с другой. Напомним, что для систем без астатизма

кР = ^раз(0), (3.3.15)

для астатических

кр = lims'io(s), (3.3.16)

s—>0

где г - порядок астатизма, а частота среза определяется равенством

\wpa3(jtocp)\ = 1. (3.3.17)

Положим в (3.3.13) и = 0 , и учитывая, что обычно кр 1 получим для систем без астатизма

(3-3-18)

г = 1

Преобразуем это выражение. Поскольку в рассматриваемом случае

Н = diag [y/qTi,. . ., л/q^] ,

учитывая, что компоненты вектора (Es — A)_1b имеют вид ^%\ \ , где Pi(s) - соста-

D(s)

вляющие вектора p(s) = (Es — А)Ь а

D(s) = det(Es - А) = sn + dn_lSn-1 + ... + d1s + d0

Для астатических систем аналогичное, но уже точное соотношение следует из (3.3.19) после его умножения на s2r при s —У 0 :

Ч^ЯііФ- (3-3-21)

і=1 йг

Часто по соображениям точности работы системы число кр задано. Тогда для обес­печения заданного коэффициента передачи разомкнутой системы необходимо опреде­лять коэффициенты функционала (3.3.14) из равенств (3.3.20), (3.3.21), в которых /зг(0) (г = 1, п) и d0(dr) - известные числа, определяемые параметрами объекта управления.

Для установления зависимости частоты среза системы (3.3.10), (3.3.11) от параме­тров функционала (3.3.14) введем в рассмотрение некоторую частоту и*р , определяе­мую равенством

а(ш) = \wpa3(juj)\; (р(ш) = cHgwpa3(jto).

При со = u*p тождество (3.3.25) принимает с учетом (3.3.23) вид 2а(и*р) cos ио(и*р)-\-а2(ш*р = 1 , откуда следует

«Kp) = - cos ^Кр) + ^cosV«p) + l- (3-3.26)

Учитывая, что — 1 < cos(f(uj) < 1 , получим границы для значений амплитудно-частотной характеристики а(и) оптимальной системы в точке и*р :

0,4 < а(ш*р) < 2,4 или

201g«p) <8дБ. (3.3.27)

Если полагать наклон логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) в окрестности и*р не менее 20 дБ/дек, то нетрудно заключить, что истинная частота среза игр отличается от и*р не более чем на 0,4 декады (в 2,5 раза).

Таким образом, если коэффициенты qu (і = 1,п) функционала (3.3.14) выбрать так, чтобы при заданном и*р выполнялось равенство (3.3.22), то частота среза опти­мальной в смысле такого функционала системы (3.3.10), (3.3.11) будет отличаться от заданной не более чем в 2,5 раза.

Пример. Рассмотрим гирораму, описываемую уравнениями

жі = ж2; ж2 = а22ж2 + а23ж3; ж3 = а32ж2 + а33ж3 + Ь31и, и пусть требуется найти закон управления

(3.3.28)

и = CXXi + С2Ж2 + С3Ж3,

(3.3.29)

при котором система (3.3.28), (3.3.29) имеет коэффициент передачи разомкнутой ги­рорамы и частоту среза, близкие к заданным —к* , ш*р .

Для решения этой задачи будем определять параметры сг- (г = 1,3) из условия минимума функционала

J = J (<?ііж2 + д22Ж2 + д33ж2 + u2) dt,

(3.3.30)

коэффициенты которого определяются из соотношений (3.3.21), (3.3.22). Для нахождения функций Pi(s) (г = 1,3) вычислим


3.3.3 Границы запасов устойчивости оптимальных систем

Исследуем частотные свойства системы (3.3.10), (3.3.11) со скалярным управлением оптимальной в смысле функционала (3.3.14). Для общности будем полагать, что в этом функционале часть коэффициентов qu равна нулю, однако, требование полной управляемости пары (А1, Н') выполняется.

Оказывается, для частотных показателей качества (запаса устойчивости по фазе <р3 , запаса устойчивости по модулю L и показателя колебательности М ) оптимальных систем можно указать [3.18],[3.19] их границы, не зависящие от выбора коэффициентов функционала (3.3.14).

Утверждение Запасы устойчивости и показатель колебательности системы (3.3.10), (3.3.11) удовлетворяют неравенствам

> 60°; L > 2; М < 2.

(3.3.35)

Доказательство утверждения опирается на тождество (3.3.13). Учитывая, что

запишем на основе (3.3.13)

[1 + Re wpa3(jto)]2 + Im2 wpa3(jto) > 1. (3.3.37)


Равенству [1 + Re ^pa3(ja;)]2 + Im2 wpa3(ju) = 1 соответствует в плоскости годо­графа амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) окружность единичного радиуса с центром в точке Re wpa3(jw) = —1, Im wpa3(jw) = 0. Эта окружность показана на рис. 3.3.2. Неравенство (3.3.37) означает, что годограф АФЧХ оптимальной системы не пересекает зоны (это запретная зона на рис. 3.3.2 заштрихована), ограниченной окружностью единичного радиуса с центром в точке ( — 1, j0) .

Рис. 3.3.2

Опираясь на такую геометрическую интерпретацию условия оптимальности в ча­стотной форме (3.3.13) и неравенства (3.3.36), нетрудно доказать соотношения (3.3.35) для границ частотных показателей качества.

Действительно, пересечение запретной зоны с кругом единичного радиуса с цен­тром в начале координат образует сегмент, в который вписываются два равносторон­них треугольника 0\ОК\ , 0\ОК (сторонами этих треугольников являются радиусы пересекающихся окружностей), которые опираются на дугу, отмеченную на рисунке крестиками, а поэтому угол ОКК\ равен 120° . Это означает, что запас по фазе ц>ъ > 60° .

Переходя ко второму из неравенств (3.3.35), отметим, что отрезок вещественной оси [—2, 0] , отмеченный на рисунке крестиками, находится внутри запретной зоны. Это означает, что запас устойчивости по модулю для оптимальных систем с АФЧХ второго рода не менее двух, а с АФЧХ первого рода - бесконечно велик. Последнее следует из того, что участок [—1, 0] вещественной оси не может пересекаться АФЧХ оптимальной системы.

Граница показателя колебательности оптимальных систем находится следующим образом. На рис. 4.3.2 штрихпунктирной линией нанесена окружность радиуса г =

М         . м-

Jj^p      = 0, 66 с центром в точке (—a, j0) , где а = jj^y     TJ = ^' 3 ' a окРУжность

составляет геометрическое место точек, запретных для АФЧХ с показателем колеба­тельности М = 2 . Так как эта окружность находится внутри запретной зоны, касаясь

границы этой зоны изнутри, то М < 2 и, таким образом, утверждение доказано.

Отметим, что доказательство опиралось на неравенство (3.3.37), которое не содер­жит коэффициентов функционала оптимизации. Правда, при этом требуется, чтобы qu > 0 (г = 1, п) , так как в этом случае выполняется (3.3.36), поэтому границы (3.3.35) не зависят от выбора этих коэффициентов ,и таким образом,утверждение доказано.

Отметим, что аналогичное утверждение получено и для оптимальных систем с век­торным управлением [3.20],[3.21]

Пример . Определим запасы устойчивости и показатель колебательности гиро­рамы с законом управления, полученным в примере 4.3.1. Передаточная функция гирорамы в разомкнутом состоянии определяется выражением (3.3.34). На рис. 4.3.1 приведены логарифмическая амплитудно-частотная характеристика —20 lg а(и) и функ­ция <р*(ш) = 180-\-<р(ш) (где <р(ш) - фазочастотная характеристика), соответствующие передаточной функции (3.3.34). Нетрудно видеть, что <р3 = 80° , L —У оо . На этом же рисунке приведен график

в матричной форме он принимает вид

Условие неотрицательности подынтегральной квадратичной формы п + 1 перемен­ного Q — IV > 0 . Вводя новые переменные й = и + l'x , Q = Q + //' нетрудно привести функционал (3.3.38) к форме (3.3.14) и использовать процедуру АКОР. Однако для частотных показателей качества систем, оптимальных в смысле функционала (3.3.38), уже нельзя указать границ (3.3.35). Более того, можно показать, что для любой (в том числе и сколь угодно "плохой" по частотным показателям) системы (3.3.10), (3.3.11) можно построить неотрицательный функционал вида (3.3.38), в смысле которого эта система является оптимальной.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я