2.2 Оптимальные по быстродействию системы управления

Повышение быстродействия при заданных ресурсах-это повышение производитель­ности процессов и машин, и поэтому оптимальные по быстродействию и близкие к ним системы стали первоочередным объектом исследования специалистами по автоматике. В 1935 г. в СССР был получен патент [2.27] на систему перемещения валков про­катного стана, в которой применялась квадратичная обратная связь, обеспечивающая максимальное быстродействие. Аналогичный принцип был применен несколько позже в автоматическом потенциометре, выпускаемом одной из фирм США. Затем появи­лись теоретические работы. В 1953 г. было введено [2.28] общее понятие оптималь­ного процесса в п -мерном пространстве состояний ( п -мерном фазовом пространстве) и доказана теорема об п -интервалах переключения оптимального по быстродействию процесса. Первая публикация по принципу максимума [2-29] также содержала (выска­занный в форме гипотезы) принцип, ведущий к решению общей задачи об оптималь­ном по быстродействию программном управлении. В последующие годы появилось большое число работ, основанных на принципе максимума, в которых приводятся раз­личные способы построения оптимального по быстродействию систем программного управления, а также синтезу таких систем.

2.2.1 Принцип максимума для оптимальных по быстродействию систем

Задача определения оптимального по быстродействию программного управления состоит в нахождении управлений и Є U} при которых объект

х = у>(х, и) (2.2.1)

переводится из состояния

x(t0) = х(0) (2.2.2)

в состояние

x(t1)=x(1) (2.2.3) (х(°), xW и t0 - заданы, a t\ - неизвестно), при этом функционал

J = j dt = tl - t0 (2.2.4)

to

принимает наименьшее значение.

Опираясь на теорему 2.1.2 принципа максимума, выведем необходимые условия оптимальности по быстродействию.

Из (2.2.4) следует, что t^o(x, u) = 1, п поэтому

Я(х, V, </>о, u) = <р + E^^o(x, u).

8 = 1

Вводя функцию

n

Я(х, V, u) = E<?Wo(x, u), (2.2.5)

8 = 1

запишем (2.2.1) и сопряженную систему в виде

жг = 7ПГ (i = T^); (2.2.6)

Фг = -^ (i = hn) (2.2.7)

ОХ і

При фиксированных х и ф Hi становится функцией и . Обозначим

Mi(x, -0) = max(x, -0, u).

Очевидно, что

м(х, </>) = мі(х, ф)-ф0.

Таким образом, необходимое условие (2.1.15) для оптимальности по быстродей­ствию принимает вид

тахЯДх, ф, и) = ф0 (ф0 < 0). (2.2.8)

Пример. Оптимальное управление в системе "генератор-двигатель". Рас­смотрим задачу об оптимальном по быстродействию программном управлении в си­стеме "генератор - двигатель".

Пренебрегая динамическими процессами в обмотках возбуждения двигателя и ге­нератора, запишем уравнения (1.1.18), (1.1.19) при Ті = Т2 = 0 в виде

х\ = ж2, ж2 = aiLpi(ui)u2 + а2х2и\. (2.2.9)

Требуется записать краевую задачу принципа максимума для определения функ­ций u\(t), u2(t) (удовлетворяющих неравенствам |^i(t)| < и\, \u2(t)\ < и2} при кото­рых вал двигателя поворачивается из заданного положения Жю, ж2о, в другое заданное положение Жц, ж2і за наименьшее время.

Функция Hi имеет в рассматриваемом случае вид

Ні = фі(ї)х2 + </>2(t)(ai(^i(ui)u2 + a2Lp2u22), (2.2.10) в ней вспомогательные переменные фі(і) и ф2(і) удовлетворяют уравнениям

атт атт

Фг =    = 0; ф2 = -—^ = -фі + а2ф2и\. (2.2.11)

Уравнения (2.2.9) ... (2.2.11) образуют краевую задачу принципа максимума для оптимального по быстродействию управления.

2.2.2 Линейные объекты

Рассмотрим важный для практики частный случай задачи об оптимальном быстро­действии, когда уравнения (2.2.1) объекта линейны и имеют вид

Для линейных объектов принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности по быстродействию. В соответствии с (2.2.8) для оптимальности управления необходимо и достаточно, чтобы функция (2.2.13) при­нимала наибольшее значение при ограниченном и. Эта функция достигает максимума, если

Необходимым условием экстремума всякой гладкой функции, заданной в открытой области изменения ее аргумента, является равенство нулю ее производной. Если функ­ция задана в замкнутой области, то ее экстремум может достигаться как внутри, так и на границе этой области. В рассматриваемом случае функция Нц = 0\и - линейная относительно it, ее производная не зависит от и, и поэтому если на и не наложено ограничение, то не существует точки it, в которой функция Нц достигает экстремума. Если функция Hi рассматривается в замкнутом интервале [—и*} и*] изменения пе­ременной it, то в этом интервале она достигает максимума и минимума на границах интервала (рис. 3.1.1).

Спрашивается, каково же должно быть и, чтобы функция Hi достигала макси­мума? Как следует из рис. 2.2.1, и определяется выражением

1 \

и* и

Это выражение справедливо для каждого момента времени, и поэтому оптимальное управление имеет вид

i(t) = и* sign е Ьцфі(і).

(2.2.17)

г = 1

Возвращаясь к общему случаю (ш > 1), замечаем, что каждая составляющая Ui(t),. . ., um(t) вектора и изменяется независимо от остальных составляющих, по­этому (2.2.15) выполняется, если

uk(t) = и*к sign

(к = 1, ш).

(2.2.18)

г = 1

Таким образом, для линейных объектов принцип максимума дает явный вид (2.2.18) оптимального управления, а краевая задача состоит в определении вектора rji(t0)} при котором решения системы

х = Ах + Ви;

(2.2.19)

ик = и*к sign В'[к]ф (к = 1, т) (2.2.20) (В'щ - А;-тый столбец матрицы В);

ф = -А'ф (2.2.21)

удовлетворяют краевым условиям (2.2.2), (2.2.3).

Заметим, что корни характеристического уравнения объекта (2.2.12) и сопряженной системы (2.2.14) равны по модулю, однако противоположны по знаку. Действительно, характеристический полином объекта имеет вид det(£'s — А), а сопряженной системы имеет вид det(£'s + А'), и если, например, объект асимптотически устойчив, то со­пряженная система неустойчива. Это приводит к трудностям при численном решении

краевой задачи. В связи с этим были разработаны специальные методы (изложенные, например, в [2.30]) решения краевых задач для системы (2.2.12) ... (2.2.15).

Трудности решения краевой задачи для системы (2.2.12) ... (2.2.15), к которой сво­дится задача об оптимальном программном управлении при использовании принципа максимума, привели к разработке нового метода [2.6], предложенного Н.Н.Красовским. Этот метод сводит задачу об оптимальном программном управлении в линейных си­стемах к так называемой проблеме моментов, изучаемой в функциональном анализе.

Пример. Пусть объект управления описывается уравнением

У +d2y + diy + d0y = bu. (2.2.22)

Требуется определить функцию управления u(t), удовлетворяющую неравенству \u(t)\ ^ 1? которое переводит этот объект из состояния

у(0) = у1О; у(0) = у2О; у(0) = у30    ( 2.2.23)

в нулевое положение

у(П) = у(П) = у(П) = 0           (2.2.24)

за минимальное время.

Вводя обозначения х\ = у, х2 = у, ж3 = у, Ь = Ь31 , запишем уравнение объекта в форме

х\ = ж2; ж2 = ж3; ж3 = —d2x3 — d\x2 — d0xi + Ъ3\и.     (2.2.25)

Функция

Hi = фіх2 + ф2х3 + ф3(-d2x3 - dix2 - d0xi + b31u), (2.2.26)
а сопряженная система (2.2.14) имеет вид

Фі = (10ф3; ф2 = -фі + g?ic/>3; ф3 = -ф2 + d^3. (2.2.27) Из (2.2.26) заключаем, что искомое оптимальное управление имеет вид

Разрешая последнюю систему трех уравнений относительно ф3 , получим диффе­ренциальное уравнение

- Ф3 +d2h - (1гф3 + d^3 = 0 (2.2.29) для определения функции фз(і) .

2.2.3 Теорема об п -интервалах

Из (2.2.18) следует, что каждая из компонент оптимального управления предста­вляет собой кусочно-постоянную функцию, точками разрыва которой являются точки обращения в нуль функции

На рис. 2.2.2 приведен график, изменения во времени одной из этих функций.

-ні

Теорема, (об n-интервалах) Если корни характеристического уравнения объ­екта (2.2.12) действительны, то число переключении каждого из управлений u\(t), . . . , um(t) не превышает п — 1.

При доказательстве теоремы ограничимся для простоты случаем п = 3, т = 1. Кроме того, будем полагать, что объект управления описывается системой (2.2.25), при этом корни уравнения s3 + d2s2 + dis + d0 = 0 объекта (2.2.25) попарно различны. Однако приводимое ниже доказательство полностью повторяется для общего случая, описанного теоремой.

Обозначим через — Ai, —А2, —А3 - корни характеристического уравнения объекта. Тогда очевидно, что корни характеристического полинома уравнения (2.2.29) равны Ai, А2, Аз, и, следовательно, функция 0з(£), являющаяся решением этого уравнения, имеет вид

ф3(і) = kieXlt + k2eX2t + к3еХз\ (2.2.30)

где к\, к2} кз - постоянные интегрирования.

Поскольку число корней (нулей) функции фз(і) определяет число переключении оптимального управления, то теорема будет доказана, если справедливо следующее утверждение.

Утверждение Если Ai, А3, А3, - попарно различные действительные числа, то функция (2.2.30) не может иметь более двух действительных корней.

Доказательство. При п = 1 утверждение справедливо (уравнение eAl* = 0 не имеет действительных корней). Предположим, что утверждение доказано для случая, когда в (2.2.30) имеется лишь два слагаемых, и докажем ее для трех слагаемых.

Допустим противное, что функция (2.2.30) имеет не менее трех действительных корней. Умножив ее на е~Аз*, получим функцию

а;іє(аі-аз)* + к2е{Х2-Хз)і + к3, (2.2.31)

которая также имеет не менее трех действительных корней. Из математического ана­лиза (теорема Ролля) следует, что между двумя действительными корнями функции лежит по крайкей мере один корень ее производной. Следовательно, производная функции (2.2.31) имеет не менее двух действительных корней. С другой стороны, эта производная определяется выражением

в которой числа Ai — А3 и А2 — А3 попарно различны, и, следовательно, она имеет не более одного действительного корня (выше полагалось, что утверждение доказано для случая, когда (2.2.30) содержит менее трех слагаемых). Полученное противоречие доказывает утверждение и теорему.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я