4.4. Аперіодична ланка першого порядку

Рівняння ланки:

Ty' (t) + y (t) = kx(t), де k - передаточний коефіцієнт, що являє собою відношення вихідної вели­чини до вхідної у статичному режимі розмірністю [k] = [y]/[x]; T - постійна часу, що характеризує інерційність ланки.

В операторній формі при нульових початкових умовах це рівняння має вигляд

TsY (s) + Y (s) = kX (s).

Передаточна функція:

W (s) = —— =

X(s)   Ts +1 '

Частотні характеристики: Частотна передаточна функція:

W (jw) = P(w) + jQ(w) = A(w)ejj(w =^+- = k-jkwwT.

T (jw) +1   1 + T 2w2

Звідки


Крива, що точно відповідає функції L (w) , показана на рисунку суціль­ною лінією. У практичних розрахунках звичайно використовують наближену

характеристику L (w) , що являє собою ламану, що складається із двох аси­мптот.

величиною

Перша асимптота (низькочастотна) виходить при малих частотах, коли

2 2

T w вираженні L(w) можна знехтувати. Тоді

ли

L(w) » Lm (w) = 20lg k . Друга асимптота (високочастотна) виходить при високих частотах, ко-

2 2

T w >> 1 і одиницю під коренем можна не враховувати. Тоді

L(w) » Lm (w) = 20lg k - 20 lg(Tw).

Останнє рівняння являє собою рівняння прямої, що проходить через точку з координатами [ wl = І/T ; Lвч (w\) = 20 lg к ].

Визначимо нахил другої асимптоти:

w2 = I0wl  =^> Lвч (w2) = 20lg к - 20lgl0.

Lвч (w2 ) - Lвч       = -20  дб/дек .

Значення частоти       , при якій перетинаються обидві асимптоти,

сп

знайдемо з умови LWi (<Усп) =    (<Усп), тобто

20lg к = 20lg к - 20lg(TwOT). Звідси ^сп = І/T .

На основі викладеного алгоритм побудови асимптотичної ЛАЧХ мож­на подати в такий спосіб:

на рівні L(w) = 20lg к провести пряму до частоти <Усп ;

з точки з координатами [WOT ; 20 lg к ] провести іншу пряму з нахи­лом -20 дб/дек .

Максимальна помилка проведеної апроксимації виходить при w = сосп і становить:

DL = 20lg к - 20lg к + 20lgV2 » 3 дб. Відзначимо, що при w= wсп :

T І тг ^<>сп) = - arctg — = -arctg(l) = - -j-.

Отже, з аналізу ЛАЧХ і ЛФЧХ видно, що зі збільшенням частоти вхід­них коливань амплітуда вихідних коливань до частоти <Усп не змінюється, а

при w > <Усп - зменшується, тобто ланка є фільтром високих частот.

Зміщення фаз негативне і з ростом   частоти прагне до значення

j?(oo) = -p2 .

4. Часові характеристики:

перехідна характеристика

h(t) = к(і - Є ^ );

- імпульсна перехідна характеристика


w(t) = h'(t) = . Вигляд цих характеристик представлений на мал. 4.7.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я