11.1 Основные понятия

Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Послед­ние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:

где y1, y2, ..., yn - фазовые координаты: t - время; f1, f2, fn - нелинейные функции.

Фазовые координаты y1, y2, yn могут иметь любой физический смысл - температура, концентра­ция и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее (n -1) производную, т.е.

yi(t) = y(t), y2(t) = y'(t), ... , yn (t) = У(n-1)(t) .

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем вто­рого порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (11.1) для системы второго порядка запишется в виде:

'^ = f1( У1, У2);

f2( y1, y2).

< dt (11.2)

dy2(t)

dt

Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо ис­ключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее уравнение

(11.3)

dy 2 = f2( y1, y 2) dy1 f1( yU y 2) '

решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми траекториями системы.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я