12.5 Тренировочные задания

1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчиво-

сти движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем суще­ствуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".

Для исследования устойчивости в "малом" используется первый метод Ляпунова, который позволя­ет судить об устойчивости нелинейной системы по линейной системе первого приближения.

А Какое движение называется возмущенным движением и какое движение называется невозму­щенным движением?

В Какой смысл имеет понятие устойчивости движения системы по Ляпунову и чем оно отличается от асимптотической устойчивости?

С Какие теоремы были доказаны Ляпуновым в первом методе исследования устойчивости в "ма­лом" состояния равновесия нелинейной системы.

Как известно, достаточные условия устойчивости нелинейных систем дает второй метод Ляпуно­ва, позволяющий исследовать устойчивость в "большом". Согласно этому методу в рассмотрение вводит­ся функция Vy2,yn), заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами: не­прерывна со всеми своими частными производными в некоторой открытой области, содержащей начало координат; при y1 = y2 =... = yn = 0 - V(y1,y2,yn) = 0; внутри рассматриваемой области V является знако­определенной функцией, т.е. V > 0 или V < 0.

А. М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устой­чивости и о неустойчивости. Так для доказательства асимптотической устойчивости строится и исследу­ется производная по времени функции Ляпунова, которая в силу системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V знака.

Если найти такую функцию V удастся, то устойчивость нелинейной системы будет доказана, при­чем устойчивость в "большом". Единого подхода к построению функции V(y1,y2,yn) не существует, но имеются рекомендации по составлению этой функции для исследования определенного класса сис­тем.

А Какая теорема физики лежит в основе второго метода Ляпунова?

В Какими свойствами должна обладать функция Ляпунова и ее производная по времени, чтобы не­линейная система была устойчива ?

С Как Вы объясните, что второй метод Ляпунова дает устойчивость нелинейной системы в "боль­шом"?

Для исследования устойчивости определенного класса нелинейных систем применяют критерий абсолютной устойчивости. Этот критерий относится к группе частотных критериев устойчивости. Рас­сматриваемая нелинейная система представляет собой замкнутую систему и состоит из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой W(ію) , и нелинейного элемента со статической характеристикой Ф(х) из подкласса (0,к), т.е. 0<Ф(х)/x<к, стоящего в отрицательной обратной связи.

Для устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью дос­таточно выполнения условия, что действительная часть функций Попова П(ію) положительна. А Как Вы понимаете абсолютную устойчивость?

В Что представляет собой видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части, и

как последняя связана с исходной? С Дайте геометрическую трактовку критерия абсолютной устойчивости.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я