6.3. Основные результаты и выводы

Доказан принцип квазистационарности производных (ПКП) для линейных сис­тем с симметричными матрицами, что позволило указать условия применимости ПКП и обосновать методы практического определения линейных связей^ уста­навливающихся вне пограничного слоя между фазовыми переменными жестких дифференциальных систем.

На основе структуры асимптотических связей сформулирована и доказана тео­рема о понижении размерности пространства поиска решаемой оптимизацион­ной задачи. Получена оценка для степени овражности результирующего целе­вого функционала, определенного в (я - 1)-мерном пространстве. Доказана теорема об асимптотическом понижении размерности пространства поиска оп­тимизационной задачи при произвольной размерности дна оврага.

Доказанные утверждения позволили обосновать процедуру иерархической опти­мизации в последовательности подпространств пониженной размерности. Полу­чены выражения для коэффициентов чувствительности решения оптимизацион­ной задачи к изменению собственных чисел соответствующей матрицы Гессе, получены соотношения, устанавливающие внутренний механизм переноса по­грешностей в задании исходных данных на окончательный результат. Рассмот­рен пример, иллюстрирующий на конкретном числовом материале смысл и эф­фективность методов иерархической оптимизации.

Построен общий алгоритм иерархической оптимизации МЮ. Указаны области рационального применения алгоритма МЮ.

Рассмотрены методы исключения переменных на основе спектрального разло­жения матрицы Гессе в точке оптимума целевого функционала. Показано, что эффективность обычно применяемого метода, основанного на удалении «ма­лых» составляющих оптимального вектора аргументов, существенно зависит от степени овражности (обусловленности) целевого функционала. В результате применения такого подхода, например для упрощения избыточных структур оп­тимизируемых систем, могут получаться структуры, неоптимальные как по ко­личеству составляющих их элементов, так и по качеству функционирования.

Изучен алгоритм исключения избыточных переменных, аналогичный гауссов-скому методу исключения со специальным выбором ведущего элемента. В ре­зультате вариации управляемого вектора х производятся только в пределах

«дна» оврага, где общий показатель качества (критерий оптимальности) меняет­ся относительно слабо. Реализация такого подхода позволяет на основе квадра­тичной модели критерия оптимальности системы указать максимальное число исключаемых параметров и оценить ожидаемое при этом ухудшение качества. Оставшиеся после исключения переменные соответствующим образом коррек­тируются. Изложенный метод, в отличие от классического подхода, инвариантен относительно выбора масштабов управляемых переменных и степени овражно­сти критерия оптимальности.

Изучена методология применения рассматриваемого подхода для удаления пе­ременных в задаче наименьших квадратов. На классическом тестовом примере продемонстрировано преимущество спектрального метода исключения по срав­нению с классическим методом пошаговой регрессии, не позволяющим решить указанную задачу.

Обоснована целесообразность применения изученного подхода в задачах струк­турного синтеза, а также при построении минимальных параметрических пред­ставлений искомых непрерывных зависимостей, например в таких задачах тео­рии управления, как задачи идентификации нелинейных детерминированных объектов с использованием моделей Вольтерра, а также задачи идентификации и синтеза, приводящие к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода (урав­нения Винера—Хопфа), решаемым на основе алгебраических методов.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я