3.3. Критерии овражности

Рассмотрим практические методы распознавания овражной ситуации, играющие роль критериев овражности. Наиболее существенной характеристикой оказыва­ется значение показателя г| в допустимой области изменения управляемых пара­метров.

Своеобразным индикатором может служить метод простого градиентного спус­ка (ПГС), реализуемый по схеме

Принадлежность J (х) к классу овражных в этом случае проявляется в необходи­мости применения относительно малых значений h. Попытки увеличения h вы­зывают потерю свойства релаксационное™ (монотонного убывания) последова­тельности {/ (я*)}, и значения / (д^) начинают резко возрастать. Если для некоторого фиксированного h (наибольшего из возможных) удалось заставить процесс (3.15) протекать без полной остановки, то по результатам работы метода можно количественно оценить величину Г|.

Соотношение (3.16) справедливо независимо от выпуклости функционала J (х) и является основным для грубой практической оценки степени овражности ре­шаемой задачи в окрестности текущей точки. Доказательство соотноше­ния (3.16) дано в 5.2.

В силу изложенного можно рекомендовать процесс оптимизации начинать с по­мощью метода ПГС. Если задача простая и степень овражности невелика, то уже этот метод довольно быстро приведет в малую окрестность оптимума. В против­ном случае будет получена оценка г|, что позволит правильно оценить ситуацию и выбрать наиболее рациональный алгоритм.

Другой, прямой метод оценки г| сводится к вычислению матрицы Гессе функ­ционала и решению для нее полной проблемы собственных значений. Тогда на основе непосредственной проверки выполнения неравенств (3.9) для вычислен­ных собственных чисел делается вывод о значении г\. При этом определяется также размерность г дна оврага. Главный недостаток такого подхода заключается в существенных вычислительных трудностях принципиального характера, воз­никающих при определении малых собственных значений. Можно показать, что абсолютная погрешность \dX^ представления любого собственного значения Х{ матрицы А за счет относительного искажения 8 ее элементов удовлетворяет

неравенству | dX{ \ < пЪ \ Хх\, где \Х{ | = max | Xt |. Полагая 5 = гт = 2 где єш — относи­тельная машинная точность, а £ — длина разрядной сетки мантиссы числа, полу­чим оценку для абсолютных искажений собственных чисел за счет ошибок округ­ления:

\dXl<mM (3.17)

Параметр єш известен для каждой вычислительной системы. Из последнего неравенства можно сделать следующее заключение. Если все вычисленные собственные числа матрицы А = J"(x) достаточно велики, то есть \Xl > neJXj, то параметр т] может быть вычислен непосредственно. Если же неко­торые из вычисленных собственных чисел удовлетворяют неравенст­ву \Xt\ < neJXxl то все они должны быть отнесены к блоку «малых» собственных

чисел, а для т] имеем границу снизу: т] >  .

Качественным признаком плохой обусловленности может служить существен­ное различие в результатах оптимизации, например, методом ПГС, при спуске из различных начальных точек. Получаемые результирующие точки обычно распо­ложены довольно далеко друг от друга и не могут интерпретироваться как при­ближения к единственному решению или конечной совокупности решений (при наличии локальных минимумов). Описанная ситуация, как правило, означает наличие оврага, а точки остановки применяемой поисковой процедуры тракту­ются как элементы дна оврага Q


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я