2.4. Методы исключения ограничений

Рассмотрим методы учета ограничений в однокритериальной задаче

Формально наиболее просто снимаются прямые ограничения, Для этого доста­точно выполнить замену переменных по одной из формул табл. 2.1, где z{ означа­ют новые независимые переменные. Однако, как указано, например, в книге [19],


подобная замена переменных в ряде случаев приводит к различным вычисли­тельным осложнениям. В частности, может возрастать обусловленность матриц Гессе целевого функционала по новым переменным вплоть до получения вырож­денных матриц.

В задачах параметрической оптимизации, возникающих при алгоритмизации процессов управления, наиболее часто встречаются сложные нелинейные огра­ничения. Это не позволяет использовать специальную технику параметрической оптимизации, направленную, например, на решение задач с линейными или пря­мыми ограничениями [19].

Существует два класса методов оптимизации, ориентированных на решение од-нокритериальных задач с ограничениями общего вида. Первый класс составляют алгоритмы, реализующие методы проекции градиента, отсечения, а также раз­личные методы возможных направлений. Эти алгоритмы дают возможность на каждой итерации свести исходную задачу к формально более простой задаче с ограничениями, например к задаче линейного программирования.

Во вторую группу входят методы штрафных функций и модифицированных функций Лагранжа, основанные на учете ограничений непосредственно в конст­рукции критерия оптимальности с последующим использованием алгоритмов безусловной оптимизации [21]. Далее рассматривается второй, в определенном смысле более перспективный, подход.

Основная идея метода штрафных функций состоит в следующем. Рассмотрим задачу нелинейной оптимизации вида

не содержащую ограничений в виде неравенств; тогда вместо (2.21) решается по­следовательность задач безусловной минимизации однопараметрического се­мейства функционалов {Jk}, где

Второе слагаемое в (2.22) имеет смысл «штрафа» за нарушение ограничений, что и определяет название метода. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.8. Пусть задача (2.21) имеет единственное решение х *; функции/, h{ непрерывны в Rn; для любого k = % 2... существует xk = arg min Jk(x) є D с Rn, где D — ограниченное замкнутое множество; ck -> оо, k -» оо. Тогда lim xk -» х*,

k -» 00.

Доказательства различных утверждений, аналогичных сформулированной тео­реме, содержатся в учебнике [29].

Наиболее распространенный вариант метода штрафных функций для решения общей задачи


где

Если функционалы /, являются г раз непрерывно дифференцируемыми на множестве Д то при любом р > г этим же свойством будут обладать функциона­лы/* (*) [13].

Основной недостаток метода штрафных функций заключается в ухудшении обу­словленности вспомогательных задач при больших ck. Соответствующие вопро­сы рассмотрены в третьей главе.

Наиболее перспективным общим методом учета ограничений считается метод модифицированных функций Лагранжа [19]. Применительно к задаче (2.21) он формулируется следующим образом.

Введем в качестве обобщенного критерия оптимальности функционал

где а > 0 — параметр метода. Тогда алгоритм оптимизации сводится к итераци­онному процессу

обобщающему методы штрафных функций и множителей Лагранжа. Основная особенность сформулированного алгоритма по сравнению с методом штрафных функций заключается в отсутствии неограниченно растущего штрафного коэф­фициента а. При правильной организации процесса величина а влияет лишь на скорость сходимости, но не на сам факт сходимости последовательности {xk} к оптимуму. При решении практических задач значение а целесообразно подби­рать в интерактивном режиме, так как надежные методы априорного задания 6 в настоящее время отсутствуют.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я