Лекция 9. Метод гармонической линеаризации

1 2 3 4 5 6 7

Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.

Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.

Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.

Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические. Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические нЭ описывают­ся функцией F(x).

Применение метода гармонической линеаризации для исследования нелинейных колебаний - это наиболее распространённое применение данного метода.

В замкнутой САУ, состоящей из линейной части с передаточной функцией W(p) и нелинейного элемента, описывающегося функцией F(x), рассмотрим условия возникновения колебательного незатухающего процесса, его амплитуда, частота, форма и условия возникновения подлежат исследованию.

Пройдя через линейную часть, выходной сигнал поступает по цепи ООС на вход системы, которую будем для простоты считать следя­

щей с 0 задающим воздействием. Далее, преобразовавшись в не­линейном элементе, сигнал поступает на вход ЛЧ, контур замкнут. Периодический сигнал aSin(wt), проходя через нелинейность, остаётся периодическим с тем же периодом и его можно разложить в ряд Фурье по гармоникам с кратной частотой. F(aSin(wt))=ao + biSin(wt) + aiCos(wt) + b2Sin(2wt) + a2Cos(2wt)+...+ (9.1) Коэффициенты Фурье вычисляются по известным формулам, заметим лишь, что коэффициенты ак и Ьк зависят от амплитуды и частоты a b ы гармонического сигнала aSin(^t)). В конечном итоге, это сохраняет характер нелинейной зависимости.

2—      2— 2—

со ю    со ю    со ю

a0 = — |F(aSin(co t))dt; ak =— |F(aSin(co t))Cos(kco t)dt; bk =— |F(aSin(co t))Sin(kQ t)dt;

k > 0;

Если дополнительно предположить, что нелинейность симметрич­на, то есть F(-x)= -F(x), то постоянная составляющая a0=0. Обратимся к частотной характеристике линейной части. Говорят, что справедлива гипотеза фильтра, если выполняется неравенство:

|W(jnu>

)| << |W(ju>

)|,         (9.2)

здесь имеется ввиду типичная рабочая частота системы ш

. Таким образом, предполагаем, что линейная часть обладает фильтрующим свойством. Поэтому старшие гармоники на выходе НЭ просто не проходят через линейную часть, они в ней подавляются.

В этом заключается гармоническая линеаризация - отбрасывание старших гармоник на выходе НЭ, потому что их влияние пренебрежимо мало. При этом учитывается , что в линейной части различные гармоники не взаимодействуют между собой вследствие линейности.

Гипотеза фильтра означает, что частотная характеристика линейной части достаточно быстро убывает:

погрешность метода гармонической линеаризации составляет эту же величину Д%.

После отбрасывания старших гармоник от (9.1) остаётся следующее выражение: F(aSin(wt)) « a q (a,w)Sin(wt) + a q'(a,w)Cos(wt); q (a,w) = a1/a и q' (a,w) = b1/a называются коэффициентами гармонической линеаризации. Эти коэффициенты описывают изменение амплитуды и фазы первой гармоники сигнала при прохождении через нелинейность. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды и частоты возможно только в нелинейной системе, сохраняет отпечаток нелинейности, не уничтожая её, как при простой линеаризации нелинейности. Именно поэтому возможно использовать метод гармонической линеаризации для расчёта существенно нелинейных колебательных процессов.

Коэффициенты гармонической линеаризации обобщают обычный коэффициент усиления линейного звена. Покажем, как с их помощью определить АФЧХ, соответствующую НЭ. Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через НЭ:

Значит, гармонический сигнал, проходя через НЭ, домножается на некоторое операторное выражение, которое естественным образом называется эквивалентной передаточной функцией НЭ:

(9.3)

Полученная передаточная функция позволяет также определить эквивалентную АФЧХ НЭ:

Whs (a,®, j®) = q(a,®) + q<ya(°C • j® = ReWH3(®) + j • lmWH3(®) =

®

= \WH3 (®)\ • ej*rgW™(a) =

lmWH3 (®)

jarctg-

д/q (a,®) + (q) (a,®) • eJ 5 "эК = л\q (a,®) + (q ) (a,®) • e    "эУ '

Как правило, вид нелинейности связан с типичным эффектом в том или ином элементе автоматики. Рассмотрим некоторые типичные статические нелинейности. Метод гармонической линеаризации позволяет эффективно исследовать не только ступенчатые недифференцируемые (следовательно, нелинеаризуемые обычным

методом) нелинейности, но и петлеобразные, в частности, гистерезисные. Вначале рассмотрим нелинейности без петель.

Полиномиальные нелинейности

F(X)

_ - P(x) - полином ш-' ' P(-x) = - P(x)

0

Пример 1. Кубическая нелинейность. P(x) = k-|X+k2x3

q ' = О

3 2

q(a,co) = + 4 k2 a

Наблюдение: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты. Пример 2. Идеальное реле с зоной нечувствительности.

Наблюдение: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты.

Перейдём теперь к нелинейностяи с петлями. Гистерезисные нелинейности.

Нелинейная характеристика может иметь петли. Петель в характеристике может быть много. Частным случаем петли является гистерезис. Явление гистерезиса связано «с памятью» нелинейного элемента. «Память» - остаточная деформация, остаточная намагниченность, электретный эффект и т.п..

Пример 3.Реле с гистерезисом.

Наблюдение: q'<0 , имеется отрицательный фазовый сдвиг и q и q' не зависят от частоты.

Выводы:

Во всех рассмотренных случаях коэффициенты гармонической реализации не зависят от частоты.

Коэффициент q' зависит от наличия петель и пропорционален суммарной площади петель с учётом знаков.

Фазовый сдвиг - отрицательный, это определено тем, в каком направлении происходит обход петли гистерезиса, в частности, для обычного гистерезиса - отрицательный.

АФЧХ НЭ может зависеть не только от частоты, но и от амплитуды, на самом деле, во всех рассмотренных примерах от частоты она не зависит.

Автоколебания в нелинейной системе

В линейной системе всегда:            В реальной линейной системе

хобщ- (ґ) = хобщ.(і) + xчастн.а) невозможны колебания постоянной
Хнеодн.()       хнеодн.() амплитуды без наличия специаль-

дтже^е, Рп72еШнее ного периодического входного гітрщя воздействие воздействия. Собственные движе­ния в линейной системе могут иметь незатухающий вид, если имеется хотя бы один корень характеристического уравнения со строго 0 вещественной частью, так как собственные движения в системе имеют в общем случае вид: х^одного (f) = S с^еРк'

к=1,n

Автоколебания - собственные колебания в нелинейной системе,

обладающие свойством устойчивости, т. е. способностью сохранять амплитуду и форму колебаний.

Автоколебания в реальных системах могут появляться из-за наличия гистерезиса, люфта, всевозможных зазоров в механических соединениях, наличия реле, логических законов управления и др. Автоколебания в таких нелинейных системах ухудшают качество переходного процесса, не дают ему окончательно затухнуть. В особо точных системах позиционирования автоколебания просто недопустимы. x(t)

обычный переходный процесс

Для расчета такого рода колебаний подходит метод гармонической линеаризации, который в данном случае определяет амплитуду и частоту первой гармоники этих колебаний.

Используем критерий Найквиста для нахождения условия того, что замкнутая система (*) находится на границе устойчивости, то есть в ней возможны незатухающие и ненарастающие колебания.

W(jcj*) \Л/нэ(а*,ш^ш*) = -1;

(10.1)

Годограф АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку (-1; j0). а* - амплитуда возможных автоколебаний, ш* - частота возможных автоколебаний.

Рассмотрим (10.1), как систему уравнений для определения а*,ш*. Воспользуемся коэффициентами гармонической линеаризации.

Подпись:

W (ja)(q(a,a) + jq' (a, a)) = -1

W (ja) =           = Q(p) + jP(co)

- ' N(ja) -

(Q + jP)(q + jq') = -1

Решением этой системы являются а*,ш* (решений может быть несколько, кроме того, а*,ш* могут вовсе не быть истинными параметрами автоколебаний т.к. эта система (10.2) является лишь необходимым условием наличия автоколебаний). Достаточное условие должно заключать в себе рассмотрение всех гармоник, что практически нереально. Рассмотрим важный частный случай:

Система без гистерезиса.

Характеристика НЭ не имеет петель, поэтому q' = 0. Из (10.1) или (10.2):

W(ja)q(a,a) = -1; M (ja))q(a,a) = -N(jco) (10.3)

Обозначим вещественные и

мнимые части полиномов числителя и знаменателя передаточной функции ЛЧ соответственно: M(jw)=Xq(w)+jYq(w), N(jw)=Xp(w)+jYp(w). Тогда последнее равенство (10.3) эквивалентно двум (для вещественной и мнимой частей):

)Xp(w) + Xq(w)q(a) = 0; здесь учтено, что обычно q() не зависит от ш. I Yp(u>) + Yq(w)q(a) = 0;

Получим два равенства для вычисления по очереди вначале ш*, а затем а* (следует иметь ввиду, что некоторые выражения равны 0):

Xp(u*) Yq(u*) = Xq(u*) Yp(u*);

q(a*) = - Xp(u>*)/ Xq(u*) = - Yp(u>*)/ Yq(u*); (10.4)

Из (10.4) видно, что в системах без гистерезиса частота

автоколебаний ш* определяется только линейной частью. Для

определения ш* необходимо решать полиномиальные уравнения. Для определения амплитуды автоколебаний а* приходится уже решать нелинейное алгебраическое уравнение с нелинейностью, зависящей от коэффициента гармонической линеаризации q(a).

Устойчивость автоколебаний.

Можно показать, что для устойчивости автоколебаний, то есть, чтобы их амплитуда, частота и форма были устойчивы к малым возмущениям начальных условий необходимо выполнение условия:

Условие (10.5), так же, как и условия (10.1, 10.2) является лишь необходимым, то есть позволяет отсеять заведомо неустойчивые автоколебания.

Пример 1. Следящая система с релейным регулятором. Ниже приведено исследование типичной электромеханической системы (объект - исполнительный двигатель постоянного тока с примерно одинаковыми постоянными времени и выходной величиной - угол поворота) с релейным регулятором. Убедимся, что в этой системе будут автоколебания.

c 1

,—

 

1 т

 

-c

 

(Td+1)2d

НЭ ЛЧ

Так как гистерезиса нет, воспользуемся (10.4) для определения вначале частоты ш* а затем амплитуды а* автоколебаний. Сам факт наличия этих колебаний (необходимое условие !) связан с существованием решения уравнения (10.4). Нетрудно получить: M(jw)=1; N(jw)= -T2jw3-2Tw2+jw; q(a)= 4c/(na); q'=0; Вычислим вещественные и мнимые части M(jw) и N(jw):

3

Xp(w )= -2Тш*2; Yp.

Подставим в (24): -2Тш*2 • 0 - (ш* -Т2ш*3) • 1=0. Отсюда ш*=1/Т, далее вычисляем а* из уравнения q(a*)= 2/Т. 4с/(па*) = 2/Т; а*=2сТ/п . Таким образом, в нашей релейной системе возможны автоколебания с частотой, зависящей только от постоянной времени объекта управления и амплитудой, зависящей от параметров нелинейности. Проверим условия устойчивости (10.5): X(u) = Xp(ш) + Xq(ш)q(a)= -2Тш2+4с/(па); Y(ш) = Yp(u) + Yq(ш)q(a)= ш -Т2ш3;

то есть, необходимое условие устойчивости выполнено. Конкретный вид автоколебаний исследуется другими методами -решением соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений или моделированием на цифровой модели. При этом исследуются и достаточные условия наличия и устойчивости автоколебаний.

Ниже приведён график переходных процессов в системе при фзад= 1 и параметрах системы: Т=0.3с; С=1.

(0.09d3x(t)/dt3 + 0.6d2x(t) dt2 + dx(t) dt) =sign(Uzad-x(t))

t

-1.5

В следующем примере попытаемся оценить точность, типичную для метода гармонической линеаризации.

2.5

x(t)

1

Пример 2. Генератор треугольных колебаний. Рассмотрим схему, состоящую из компаратора с гистерезисом (электронный аналог реле с гистерезисом) и интегратора. Покажем, что в такой схеме возникают треугольные колебания на выходе интегратора и вычислим их амплитуду и частоту методом гармонической линеаризации.Ширина петли гистерезиса - b,

-b г -j—1

p

Рис. 10.3

амплитуда пере­ключения - 1. Интегратор - c ин-

версией знака. Построим вполне очевидный график выходного сигнала х@), предполагая, что начальное состояние интегратора равно 0 и начальное состояние реле равно (-1).


Подпись: і - 4; q\a)
a

Q(jw)= 0; P(jw)= q(a)

4

ли

Выделяя вещественную и мнимую части имеем: а* = b; ш*= 4/(Trb)ss1.27/b. Сравнивая с точным значением: ш*=0.81ш Таким образом, методом гармонической линеаризации совершенно точно определена амплитуда автоколебания, а при определении частоты имеется погрешность порядка 20%. Сравним эту погрешность с погрешностью, полученной при отбрасывании старших гармоник в треугольном колебании. Для этого достаточно в нашем случае сравнить амплитуду 1 гармоники с амплитудой всего колебания. Коэффициент Фурье Ьк для треугольного колебания имеет величину (см. справ.) bK =2b(Sin(nk/2))2/((nk/2))2. Откуда получаем, что амплитуда первой гармоники b-i « 0.81, что хорошо согласуется с полученной погрешностью вычислений.

Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы

Понятие "фазовое пространство" связано с процедурой перехода от нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка n к системе из n нелинейных дифференциальных уравнений1-го порядка. f(y(и),...,y,u(m\...,u) = о, где y(n)- n-я производная, F() - нелинейная функция, y (n) =<p(y(n-1) ...) - нелинейное дифференциальное уравнение k-го порядка относительно Y. Фазовое пространство нелинейной

Y (t) = xi(t) xi(t) = x2(t)

x2(t) = x3(t)

xn (t) = <P(xn-1(tI Xn-2

(t),...)

системы - это многомерное , ч
векторное пространство, точки x 1
которого имеют координаты:          x = Х2

Фазовое пространство полностью M иллюстрирует решение данного lxn J дифференциального уравнения. Эффективность этого понятия наиболее видна в двухмерном фазовом пространстве.

Это хорошо согласуется со следующим, принятым в автоматике рассуждением: "Всякий переходный процесс может в первом приближении быть представлен в виде системы не сложнее 3-го порядка; система 2-го порядка описывает колебательность с затуха­нием и добавление 3-го порядка (в случае необходимости) усложняет процесс затухания". То есть часто бывает достаточно 2-го порядка. В случае когда фазовое пространство двухмерно, а этот случай часто встречается на практике, использование этого пространства становится очень наглядным и используется в двух видах:

обычное фазовое пространство,

расширеное фазовое пространство, когда добавляют координату t. Обычное фазовое пространство:


Если правая часть дифференциального уравнения является дифференцируемой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора, исследование фазового портрета (совокупности фазовых траекторий) на фазовой плоскости упрощается. Вид фазового портрета определяется наличием и типом особых точек. x = f(x,x), где f(...,...) - разложение в ряд Тейлора.

В более общем случае имеется система:

(11.1)

fa =фі( *i, xi)

Особой точкой системы (1) называется точка ее покоя:

0

Х1 = 0

СХ2 =

точка покоя, «особая точка»

(11.2)

Фазовые траектории могут пересекаться только в особых точках. Вне особых точек фазовые траектории устроены просто и через каждую точку проходит единственная фазовая траектория, т.е. в окрестности неособой точки ничего интересного нет - множество практически параллельных траекторий. Чем меньше рассматриваемая окрестность

точки, тем больше ход фазовых траекторий похож на расслоение параллельными линиями. Конечно, при увеличении окрестности выясняется, что все эти линии оказываются не прямыми, а изогнутыми, как множество меридианов на географической карте.

Если найдены все особые точки изображения на фазовой плоскости, и для каждой из этих точек определено, как именно в ней пересекаются траектории, после этого фазовые траектории достраиваются почти автоматически.

Тип особой точки определяется линеаризацией правой части уравнений в окрестности особой точки.

Пусть у нас ( х*, х*) - особая точка,

(11.3)

[Фі( х*, х2) = 0 |ф 2( х*, х*) = 0

Линеаризуем уравнение (11.1) в окрестности этой точки:

Перейдя к уравнениям в отклонениях, получаем:

Т. к. замена базиса лишь поворачивает плоскость и изменяет масштаб вдоль осей, то замена базиса не меняет качественно картину особой точки. Удачным выбором базиса можно легко исследовать тип особой точки. Выберем базис таким образом, чтобы матрица привелась к диагональной форме (не только в двухмерном, но и в общем случае):

Заменим базис: x = Tz; x = Tz x = Ax , тогда Tz = Ax = ATz ; Z

В базисе собственных векторов приводим матрицу к диагональному виду.

Если матрица не обладает базисом собственных векторов, то вместо диагональной формы будет форма Жордана; построения несколько усложняются, мы, однако, ограничимся диагональным случаем. Вернёмся теперь к двухмерному случаю. Уравнение в новом базисе получаем такого вида:

Подпись: (к   о Л

z =

2 j

Замечание: собственные векторы матрицы A задают направление осей z1... zn.

Метод построения фазовых траекторий

Можно построить фазовые траектории двумя способами:

Параметрическое задание фазовой траектории;

Решаем систему, находим z1(t), z2(t). Из начальной точки строим параметрическую кривую.

Нахождение прямой зависимости z2(z1) или, наоборот, z1(z2). Второй способ проще, т.к. порядок системы дифференциальных уравнений уменьшается на единицу, и получающееся уравнение первого порядка можно легко исследовать, часто и решить явно.

Применим второй метод к нашей системе из двух уравнений:

dx.

=2- = Фі( xi, x2)

dt (11.5)

dx2

I dt

Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

dx Ф (x x )

—l = 1V ь 2> Это- нелинейное уравнение 1-го (!) порядка. (11.6)

Теперь этот способ применим к результату линеаризации в окрестности особой точки:

Г zi = kizi

z2 = к2z2

— = — •z2 далее решаем, разделяя переменные:

dz, к, z,

dz 2 h2 dzi      к ^

—— = —        ; z2 = C | z, | 1 , C - произвольная постоянная

z 2 k1 z1

Дальнейшее зависит от того, какие значения принимают Л1, Л2.

Прием определения направления стрелок.

Если нужно определить направление стрелки в любой точке фазовой плоскости (то есть определить направление движения по фазовой траектории), то берется исходное уравнение и в правую часть подставляется искомая точка.

В правой части получаются числа, которые являются производными. Если производная положительна, то соответствующая переменная возрастает со временем, если отрицательна, то убывает.

Рассмотим возможные случаи.

1. Если Л-1, Л2 - вещественные, то такая особая точка называется узлом.

1.а) Л-1, Л2 - вещественные, причем Л^<0, Л2<0 рис. 12.1. Получаем устойчивый узел.


Вдоль всех траекторий движение происходит в сторону начала координат.

Поделим второе уравнение на первое.

dz 2 = 02 Z1 <fZi Z2

Проинтегрируем по частям.

j Z2 =-jco2 ZidZi

Учтём произвольную постоянную, зависящую от начальных условий.

2          2 2

2 2       Это, очевидно, есть семейство эллипсов.

X2

z 2 +о2 z2 = R2


4. Лі, Л2 - комплексно сопряженные корни, Лі = a + jw, Л2 = a - jw 4.1. a<0. Вещественные части корней отрицательны.

4.2. a>0. Вещественные части корней положительны.

ВСЮ г-


X2

Пример построения фазового портрета с бесконечным числом особых точек. Реальный маятник без затухания.

Приведём в качестве примера построение фазового портрета реального маятника без затухания. Известны уравнения идеального (математического) и реального маятника без затухания. Очевидно, при малых перемещениях: x « Sin(x), и поэтому их решения близки. Но при немалых х отклонения в поведении значительны.

x = -x - уравнение математического маятника;

х = - sin x - уравнение реального маятника. Перейдём к фазовой плоскости для реального маятника.

Г xi = х2 =Фі(Хі, х2)

[ Х2 = - sin хі =Ф 2(xi, х2)

Jх* =0 уравнение особых точек

1 х 2 = 0

Фі(хі, = 0 х2 = 0 Ф 2 (х1, х2) = 0 sin х1 = 0 х1 = ж- к

Этот фазовый портрет построен на компьютере. Выясним характер особых точек, их здесь, очевидно, бесконечное число.

2тт.

Произведем линеаризацию в окрестности каждой точки (х*ц= 0+2тк) и (х*12 = тт+2ттк).

Очевидно, что далее картина повторяется периодически вдоль оси X1.

Линии переключения на фазовой плоскости

Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии - линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния.

НЭ ЛЧ

Рис. 13.2 Нелинейная следящая система с гистерезисом.

Обозначим X1(t)= ф(t) и перейдём к системе из двух уравнений в фазовом пространстве:

х2 =- х2 - F (х1)

Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается и его надо решить отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения.

х1 > b или

1) Область N1: F(x)=+1 при условии: < j-b < х1 < b система

{х2 < 0

упрощается: 1x 2 = -x2 -1 ; уравнение фазовых тракторий:

-1

Это уравнение можно явно проинтегрировать: Ниже приведён фазовый портрет системы. Толстой линией показана линия переключения на фазовой плоскости. Правее этой линии реле находится в состоянии +1, левее - в состоянии -1.

2) Область N2: F(x)=-1 в остальной части плоскости.


Видим, что на фазовой плоскости имеется устойчивый предельный цикл - колебательный процесс, к которому стягиваются близкие траектории. Этот предельный цикл является предельным колебательным процессом, который устанавливается в системе.

Чтобы оценить время движения по траектории поступают очень просто. Выбирают начальные условия. Решают уравнение до момента попадания в точку t* на линии переключения. Рассмотрим состояние в момент t* как начальное условие для движения в следующей области. Переходим в другую область. Используя уравнения для этой области, находим t**- время перехода в следующую область и так далее. Решение по областям и сопряжение граничных условий называется методом припасовывания.


Заметим, кстати, что в Примерах 1 и 2 Лекции 10 также имеются устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Особенно интересен здесь Пример 1, в котором фазовое пространство трехмерно, поэтому предельный цикл будет в трехмерном пространстве, но мы можем рассмотреть его проекцию на фазовую плоскость.

Наряду с предельными циклами, в нелинейных системах имеются так называемые скользящие режимы, при которых возможно существенно увеличить быстродействие в следящей системе.

1

Р

X(t)

Рис. 14.2

В этой системе имеется дифференциатор в цепи обратной связи. За счёт переключения реле все переходные процессы имеют две стадии: вначале происходит относительно медленное перемеще­ние до момента переключения реле, а затем последнее начинает переключаться с очень большой (теоретически бесконечной) частотой, удерживая при этом переходный процесс на некоторой линии фазовой плоскости. Эта линия называется линией скольжения, так как движение вдоль неё может происходить очень быстро.

Подпись:
d2/dt2x(t) =2.0*sign(-x(t)-1.5*d dtx(t))

t


Ясно видна линия переключения, являющаяся также и линией скольжения. Она выделена жирно на фазовой плоскости. Кружочком обозначена точка покоя Х1=1; Х2=0.

Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие возможности, возникающие в нелинейных системах:

Возможность получения с использованием релейного регу­лятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД-регулятора.

Возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния).

Всё это хорошо видно на результатах моделирования Рис.14.3. Также видно, что переходный процесс апериодический и заканчивается за конечное время.

Реализация скользящих режимов в реальных системах встречает некоторые трудности.

Во-первых, скользящий режим всегда является идеализацией.

Во-вторых, при программной реализации релейного элемента часто имеются сложности численного интегрирования дифференциальных уравнений при автоматическом выборе шага.

На практике всегда реализуется режим близкий к скользящему, но отличающийся от истинно скользящего конечной частотой преключения. В самом деле, реальный релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от способа его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной. Яркий пример скользящего режима на практике - регулятор зарядки аккумулятора в автомобиле, где реле (контроллер) зарядки включает и отключает обмотку возбуждения генератора с достаточно высокой частотой, достигающей сотни Герц. При этом, в силу большой ёмкости аккумулятора, переходные процессы близки к скользящему режиму. Если напряжение уже достигло номинального уровня, реле(контроллер) с большой частотой включает и отключает зарядную цепь так, что колебания вокруг номинала очень малы. Преимущества такого регулирования очевидны:

чрезвычайно высокий КПД при малых потерях энергии в самом регуляторе;

максимально возможная скорость переходных процессов зарядки, так как при зарядке всегда используется вся возможная мощность генератора (реле просто напрямую его подключает к аккумулятору).

Эти два свойства вообще являются характерными для релейных систем автоматического управления.

Функция Ляпунова и ее использование для исследования устойчивости нелинейной системы.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль эдесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Идея Ляпунова очень проста. Рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова L(xl,x2). Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве x = f (x, t)

• Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

Функция Ляпунова неотрицательна;

Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке отрицательно:

(gradL, x) = (gradL, f (x)) = gradL ■ | f ■ cosa < 0;

В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показы­вает тупой или острый угол а. Если угол а тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и тра­ектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к началу координат. Если, наоборот, а острый, то траекто­рия стремится от начала координат. Очевидно, что в пер­вом случае система

устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова.

Теорема Ляпунова (эскиз формулировки)

Пусть найдется функция L(x) > о такая, что ее производная вдоль траектории системы x = f(x,t) отрицательна, т.е. выражение (15.1) отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы. Однако, к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного про­цесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших классов           нелинейных систем, для которых

можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия

единственной нелинейности          F(x) в системе, как в методе

гармонической линеаризации.        Тогда функцию Ляпунова можно
выбрать в виде:

x

L(x) = xTQx + qjF(5)d5, где q - некоторое положительное число. (15.2)

функция 0 Ляпунова линейной части

Замечание: в случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы.

Теорема Лурье об устойчивости

Эта теорема основана на использовании предыдущей формулы для широкого класса практически встречающихся систем.

Ст - измеритель (косвенный) состояния x(t) объекта, r - коэффициент местной ООС, f(д) - нелинейность.

Требование: объект устойчив, то есть матрица А устойчива.

Метод Лурье заключается в построении функции Ляпунова, причем предварительно делается замена переменных:

Относительно этой пары уравнений получаем:

IZ = AA + bF (0) (15.5)

[S = -CTx - rF(д) = -CTz - rF(д)

Последняя система уравнений является соединением линейной части и единственной нелинейности, поэтому функцию Ляпунова мы выбираем в форме (15.1):

s

L( z,S) = zT Pz + J F (5)d5

0

По теореме Ляпунова вычисляем —. Путем сложных выкладок

dt

получаем следующее неравенство:

r >l^Pb + ІC] G-[pPb + 2Cj , где G = -ATP + PA (15.6)

Решением этого неравенства должна быть положительно определенная симметричная матрица P.

Замечание: как ни странно, сюда вообще не вошли параметры нелинейности, поэтому ясно, что Лурье получил очень сильные условия устойчивости для нелинейности любого вида в рамках ограничений.

Замечание: Лурье также получил связь показателей качества переходного процесса через матрицу P.

Таким образом, мы столкнулись со случаем, когда условия устойчивости не зависят от конкретного вида нелинейности и начальных условий. Устойчивость, не зависящая от начальных условий, называется устойчивостью в целом, не зависящая от конкретного вида нелинейности - абсолютной устойчивостью.

Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий П'опова (Popov V.M., Румыния 1958г.).

Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности, лежащих в секторе.

Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию: F(x) . - kx

(16.1)

0 * ™ * k x

F (0) = 0

То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и 3 квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения, например, она может иметь петли или быть сильно ломаной.

х          ному классу нелинейностей относятся

такие нелинейности, которые не под­даются обычным методам линеариза-Рис. 16.2

ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей,

умещающихся в секторе, очень широк, например, сюда относится

большинство нелинейностей датчиков и приводов.

С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с

гистерезисом.

Абсолютная устойчивость - это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора.

Устойчивость в целом (пространстве) - это устойчивость при любом начальном условии.

С другой стороны, устойчивость в целом является развитием вполне интуитивно понятной инженеру идеи: если график нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные критерии устойчивости, например, частотные.

Именно частотный подход используется в критерии Попова.

Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости в целом и формулировка его подобна критерию устойчивости Найквиста.

Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p), нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое число q, что выполняется следующее частотное неравенство:

Re [1 + jqa\W(ja) + > 0 (16.2)

k

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и, кроме того: x(t) — 0 при t ->oo.

Частотное неравенство (16.2) имеет геометрическую интерпретацию подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (16.2):

Re{(1 + jqa)(ReW + jImW)} = Re(ReW + jqa ReW + jImW - qalmW) = ReW - qa Im W

То есть (16.2) фактически означает: Re W - qalmW + - > 0           (16.3)

k

Если ввести модифицированный годограф:

W~(ja) = ReW(ja) + jalmW(ja),          (16.4)

то частотное неравенство для модифицированного годографа получает вид:

ReW(ja) + - > qbnW(ja) (16.5) k

В самом деле, условие (16.5) просто означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q.

на комплексной плоскости с координатами (ReW;Im W).

С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу сектора: F(x)=^. Такая нелинейность входит в рассматриваемый класс, но при её наличии система линейна, и для неё, как для линейной, можно использовать необходимое и достаточное условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к. W(ju))« К не должна "охватывать" точку -1.)

Следовательно, необходимым условием, дополнительным к критерию Попова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к.

Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому критерий позволяет отсеять неустойчивые системы.

На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график модифицированного годографа должен быть целиком правее.

Рис.16.3 Устойчивость,        Рис.16.4 Неустойчивость,

т. к. выполнены доста-         т. к. не выполнены необходимые

точные условия.        условия для немодифициро-

ванного годографа W(jw). На рис.16.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что годограф целиком оказывается справа. На рис.16.4 годограф немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает вещественную ось левее точки -1/к = -1.

На рис.16.5 невозможно провести прямую через точку -1 так, чтобы годограф оказался целиком правее, но это не значит, что система неустойчива. В этом случае требуется дополнительное исследование други­ми методами, отличными от критерия Попова.

Правило применения критерия Попова

На комплексной плоскости строим модифицированный годограф.

Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности.

Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет абсолютно устойчивой, если это возможно.

Учитываем, что критерий Попова - только достаточное условие.

Итак, необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости не совпадают. Чтобы сблизить необходимое и достаточное условия приходится накладывать более жесткие ограничения на нелинейность. Двигаясь по этому пути, можно получить много обобщений критерия Попова, в частности, при дополнительных ограничениях на нелинейность можно исполь­зовать не модифицированный, а обычный годограф АФЧХ. Если нелинейность удовлетворяет такому дополнительному условию: 0 < F(xi)-F(< k то есть, скорость возрастания нелинейности огра-х\ -Х2 ничена в каждой точке величиной к , то в этом случае вместо модифицированного годографа можно использовать обычный (критерий Чо-Нареандры).

Подобных обобщений проделано великое множество, упомянем лишь одно, по-видимому, важнейшее. Это - так называемый круговой критерий, который позволяет исследовать устойчивость при нелинейностях в более сложном секторе и, кроме того, нестационарных.

Имеются также обобщения критерия Попова на случаи других свойств линейной части, например, при наличии интеграторов.

В заключение заметим, что метод гармонической линеаризации, понятие абсолютной устойчивости и методы её исследования а также методы исследования фазовой плоскости дают поистине мощнейший инструментарий анализа и синтеза сложных нелинейных систем автоматического управления.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я