Лекция 5. Фиктивный квантователь.

1 2 3 4 5 6 7

Вся теория Z-преобразования (как и дискретного преобразования Лапласа) имеет дело со значениями функции только в моменты квантования и не дает никакой информации о промежуточных значениях функции. По этой причине вводится понятие фиктивного квантования. Если некоторые сигналы в системе рассматривать как импульсные, т.е. только в моменты квантования kT, то в ряде случаев удобно в различные части системы добавить фиктивные квантователи, которых нет в реальной системе, но наличие которых позволяет применить технику Z-преобразования. Ниже будет видно, что введение фиктивного квантования позволит корректно использовать импульсную передаточную функцию в сложной системе, состоящей из многих блоков.

Пример с использованием Z-преобразования R С

Интересуясь лишь моментами квантования введем на выходе фиктивный квантователь с фиксатором.

Импульсная передаточная функция инерционного звена, описывающего эту цепочку с учётом фиксатора:

Здесь удобно пользоваться таблицами Z- преобразований. Вычислим через обратное Z-преобразование оригинал импульсной функции, значения которой в момент времени kT есть y(kT):

y(kT) = Z-1{ Y(z) } = 1(kT) - e-kT/RC .

Результат очевиден и иллюстрирует технику применения Z-преобразования.

Передаточная функция замкнутой системы

В непрерывной системе:

1 + WWoc       1 + WWoc

В импульсной системе не всегда можно вычислить передаточную функцию замкнутой системы по подобной формуле. Сама эта возможность связана с наличием и расположением квантователя. Рассмотрим некоторые возможные случаи расположения квантователей в системе.

1) Чисто импульсная система

U(t)

e(z)

Ч JL W(z) H-L

(-)

Y(z)

Рис. 5.4

Yoc(z)

Woc(z)

Подпись: 1 + W (z )W0c (z )Подпись: 1 + W (z)Woc (z)W3.c( z)

W(z)

5

We (z )

1

2) Система с аналоговым входным сигналом

операция квантования

У * =[U (p)W (p)]-[W • W0c ]* y *

Раскрывать скобки нельзя, поэтому из последней формулы у*
выразить через          и U(p) нельзя. Результат квантования

произведения не обязательно равен произведению результатов квантования. В этом случае не получается формулы для передаточной функции замкнутой системы !

Если, однако, два блока разделены квантователем, то результирующая импульсная передаточная функция равна произведению импульсных ПФ отдельных блоков. Для этого также имеет смысл включать в состав системы фиктивные квантователи.

3) Следящая система

изад(1) e(t)
Таким образом, в практически важном случае следящей системы вид импульсной передаточной функции замкнутой системы не отличается от обычного. То же справедливо и для ПФ по ошибке.

Устойчивость импульсной САУ. Критерий устойчивости.

Устойчивость импульсной системы понимается также как и непрерывной, т. е. малое изменение поведения системы в моменты квантования при малом изменении начальных данных. Разница лишь в рассмотрении только моментов квантования. Аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования обладает следующей особенностью: так как берутся только моменты квантования, то можно пропустить, что система неустойчивая (принять неустойчивую систему за устойчивую).

Если передаточная функция импульсной системы задана посредством дискретного преобразования Лапласа:

* ) = Q(epT) = b0empT+•••+bm-1epT + bm Для исследования устойчивости в W = P(epT) = a enpT + + a epT + a ' этом случае можно применить

P4T ):

обычное требование к располо­жению корней характеристического

Хурав™2Гическое    уравнения в левой полуплоскости.

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

Repi <0 (отрицательность всех вещественных корней характеристического уравнения).

Сложности: решение характеристического уравнения, не имеющего вида полинома. Число корней этого уравнения бесконечно.

Пример: устойчивость инерционного звена. W(p) = K/(T1p+1) c шагом квантования Т. Вычислим импульсную передаточную функцию W(z) и соответствующую дискретную передаточную функцию.

Kz KepT

z _ eTl epT _ eTl

_T        Это характеристическое уравнение имеет
P(epT) = epT _eT = о бесконечное число корней, отличающихся на

_T        чисто мнимую величину. Понятно, однако, что

e pT = e T1      звено устойчиво, поскольку все эти корни

T          имеют отрицательную вещественную часть.

pT = _t+2nk    Это, конечно, бывает не всегда, поэтому

і 2п      замкнутая устойчивая непрерывная система
pi =_t+может стать неустойчивой при квантовании

1          (переходе к импульсной системе).

В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном увеличении Т устойчивая импульсная система теряет устойчивость.

Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и интегратором в ООС: ( Кимп=(1- е-т/Т1)Кнепр )

U(t)

Ч JL

Y(z)

Рис. 6.1

нетрудно получить характеристическое уравнение: P(p)= e-2pT - (1+e-T/T1) e-pT + e"T/Tl + kT = 0:

Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого

уравнения является следующее: e-T/T1 + kT < 1.

Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено.

В то же время исходная непрерывная система имеет

передаточную функцию:

к

Ясно, что эта система устойчива всегда при Т1 >0 и К>0.

Необходимым и достаточным условием устойчивости в терминах Z-преобразования является следующее вытекающее из формулы

z - epT требование к корням характеристического уравнения P(z)=0:

Необходимое и достаточное условие устойчивости:

|zj| < 1 (все корни характеристического уравнения P(z)=0 лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости Z ).

Практическое значение имеют критерии устойчивости, то есть способы проверки факта устойчивости без непосредственного решения характеристического уравнения. Также, как и в случае непрерывных систем, их можно разделить на алгебраические и частотные.

Прежде всего отметим, что вообще классические критерии устойчивости предназначены для проверки факта расположения корней в левой полуплоскости, значит, в принципе не подходят для Z преобразования

Алгебраические критерии устойчивости непосредственно неприменимы, так как характеристическое уравнение в

терминах дискретного преобразования Лапласа вообще не полиномиально. Критерий Гурвица, например, неприменим. • Частотные критерии применимы для импульсных систем, если пользоваться дискретным преобразованием Лапласа. При этом, например, эффективно применим критерий Найквиста.

Чтобы использовать одновременно известные критерии устойчивости и преимущества Z - преобразования (полиномиаль-ность всех выражений) применим следующий приём из теории функций комплексного переменного: с помощью дробно-рациональной функции отобразим внутренность единичного круга в левую полуплоскость. Пользуемся здесь известным свойством такого отображения - сохранять вид дробно-рациональной функции.

ы-преобразование - обладает требуемыми свойствами:

Подпись:
Подпись: 2 + Та 2 - Та

z —

В плоскости ш для проверки устойчивости можем пользоваться всеми обычными критериями.

Покажем, более того, что при достаточно малых значениях частоты jw в плоскости p мы получаем практически совпадающие с ним значение jw* в плоскости ш, т.е. частотные настоящие характеристики мало отличаются от частотных характеристик в плоскости ш. По крайней мере, они практически не отличаются при условии: ш << wp .

T2

Re Pi<0

I

Вывод: после ш - преобразования получается частотная характеристика (при подстановки a-jo*), с которой можно обращаться как с обычной частотной характеристикой, только помнить, что рассматриваемая частота должна быть достаточно мала. В частности, в инженерной практике после ш -преобразования применяются те же методы частотного синтеза для импульсных систем, что и для непрерывных. Ещё раз отметим, что нужно помнить: ш* << up

Также ш - преобразование можно применять и для использования алгебраических критериев устойчивости.

Пример: система 2-го порядка с характеристическим полиномом:

z1 2 < 1 - требование устойчивости ч,~~~,,-,-~~,„~-,-,„,
1 2       корни этого характеристического

уравнения находились внутри единичного круга. Для этого сделаем

ш - преобразование:

Точность импульсных систем автоматического управления.

Для оценки точности импульсных автоматических систем используются те же методы, что и для непрерывных. Так же рассматривается статическая точность и точность в переходном режиме. Вводятся коэффициенты ошибок и типовые показатели качества.

В установившемся режиме используют величину установившейся ошибки при различных типовых воздействиях, наиболее характерных для рассматриваемой системы. Основной метод исследования при этом - предельные теоремы операторного исчисления. В непрерывном случае (непрерывное преобразование Лапласа) имеет место теорема:

lim x(t)

lim p ■ X(p);

p — 0

Здесь x(t) и X(p) - оригинал непрерывной функции и её преобразование Лапласа. В случае Z - преобразования эта теорема преобразуется следующим образом (учитывая, что z=epT):

В замкнутой импульсной системе ошибка еф, задающее воздействие U3£W(z) и возмущающее воздействие f(z) связаны следующим образом:

Это выражение содержит две составляющие ошибки, первая из которых обусловлена задающим воздействием, а вторая возмущаю­щим.

Установившаяся ошибка импульсной системы может быть вычислена с помощью теоремы о предельном значении:

lim e(kT) - lim (— ■ Wsc (z) Изад (z) + — ■ We(z)f(z) X (z));

k — oo            Z — 1  z z

Определим установившуюся ошибку системы по задающему

lim

k — со

воздействию, положив f(t) = 0. Получим:

z -1 1

e(kT) - lim       Изад (z);

V         Z — 1 z 1 + W(z)Woc(z) K J' (7.2)

Если на вход подается постоянное воздействие, изображение которого U3£W(z) =Uo z /(z -1), то в соответствии с (7.2) установившаяся

ошибка системы:

lim

Для импульсных систем имеется понятие астатизма по задающему и возмущающему воздействиям. Так же, как и для непрерывных систем, эти понятия не обязательно совпадают. Как обычно, порядок астатизма определяется "числом интеграторов" в контуре. Точнее,

z -1 1 1

поскольку для интегратора справедливо: Z (1/p) =           z (—) = —,

z p2 z -1

то имеется следующее определение порядка астатизма:

W(z) = —

—г-■ W1(z); где k - порядок астатизма системы, a W-i(z) не

(z -1)к

имеет нулей и полюсов, равных единице. То есть в явном виде выделяется к интеграторов и больше их в разомкнутой системе нет.

Для того чтобы импульсная система имела нулевую ус­тановившуюся ошибку по задающему воздействию, необходимо, чтобы порядок ее астатизма по задающему воздействию превышал степень входного воздействия. Аналогично определяется и астатизм по возмущающему воздействию.

Определение коэффициентов ошибок для импульсной системы. Разложив передаточную функцию системы по ошибке для задающего воздействия в степенной ряд по (1 -z получим:

eW 1 + W(z)Woc(z) 0 TK z ' 2\T2 z   k\Tk z } '

Коэффициенты С0, С1,        называют коэффициентами ошибок.

Таким образом, отличий от непрерывного случая практически нет. Коэффициент ошибки Ск показывают величину ошибки в установив­шимся режиме при подаче на вход сигнала (полинома)степени к.

Для исследования точности САУ в динамическом режиме можно пользоваться прямым моделированием на ЦВМ или диаграммами Солодовникова, подобно непрерывному случаю. Синтез корректирующих устройств также принципиально не отличается от непрерывного случая.

Удобно использовать ЛАЧХ и ФЧХ для псевдочастоты и* при синтезе последовательного корректирующего устройства в области частот

Заметим, что в этих формулах получается корректирующее устрой­ство в терминах W(w*). Следовательно, чтобы перейти к переменному Z, надо сделать преобразование:

Описание импульсной системы в пространстве состояний Реализация импульсной передаточной функции.

Так же, как имеется переход от передаточной функции или дифференциального уравнения высокого порядка к системе или дифференциальных уравнений первого порядка для непрерывной системы, имеется такая же процедура и для импульсных систем, то есть для разностных уравнений, определённых для функций со значениями в разные моменты времени кТ.

b emPT + + b epT + b Пусть  имеется импульсная

W(e ) = —npf pf         передаточная функция либо в терминах

а0 е + ■■■+аП-Хе + ап дискретного преобразования Лапласа, либо в терминах Z - преобразования:

b0 + L + bm-1z + bm a0 zn + L + an-1z + an

и y(kT) соответственно.

Импульсные функции на входе и выхо-

w(z) = ~и~ п '—' "т~1~ ' "т   де блока, описываемого такой переда-

точной функцией, обозначим u(kT) и

u(z) = £ z ~k • u(kf); y(z) = £ z~k • y(kf)

k=0 k=0

Заметим, что умножение на z -1 соответствует сдвигу на один момент квантования назад, то есть, к предыдущему по времени значению.

00

z -1 y( z ) =£ z ~k-1 • y(kf)

k=0

Замечание: мы работаем в реальном времени. Поэтому текущее значение выхода системы может быть связано только с прошлыми, а не с будущими значениями функций.

Поэтому передаточную функцию W(z) нужно переписать с использованием отрицательных степеней z. Разделим числитель и знаменатель W(z) на: z -n

W (z) = El. bo zm + l + bm-1 z + bm = bo      + - + b^ z ^ + bmz -

zn a0zn +         + a ,z + a a0 + + a ,zl n + az"

0          n-1       n          0          n-1 n

m < n

a0y(kf) + a1 y((k - 1)f) + any((k - n)f) = ((k - n + m)f) +... + bmu((k - n)f) y(kf) = — • ((-a1 y((k - 1)f) + ... + bmU ((k - n)f)))

Это все можно свести к векторно-матричным операциям. Рассмотрим для простоты случай, когда передаточная функция в числителе имеет один коэффициент к.

W ( z ) =          -

a0y(kT) + aiy((k - 1)T) + ... + any((k - n)T) = ku((k - n)T) xx(k) = y(kT)

Xi(k - 1) = y((k - 1)T) = X2(k)

(8.1)

[Xn (k -1) = y((k -1 - n)T)

Выразим последнюю переменную xn через правую часть (11) и остальные переменные и получим систему уравнений:

f xi(k)Л

x((k +1))

x2(k )

Ax(k) + Bu(k - n); A - квадратная матрица, В - вектор;

y(kT) = xi(k)

Если импульсные системы имеют много входов и много выходов, т.е. описываются не передаточной функцией, а передаточной матрицей (по этой причине мало пригодны частотные характеристики), вычисления особенно выгодно вести такими векторно-матричными методами. Все-таки в подавляющем большинстве случаев имеется потребность в реализации на специализированных вычислителях простейших систем с одним входом и выходом. Поэтому уравнение (8.1) - это основа для написания подобных программ без применения матричных методов.

Пример: реализация фильтра нижних частот:

Это-фильтр первого порядка с крутизной -20дб./дек.

Пусть постоянная времени фильтра: ^ = 1мс (частота среза 1 кГц.)

Период квантования t = 0,2 мс. Импульсная передаточная функция, записанная с учётом фиксатора, (см. пример из лекции 5) и домножения числителя и знаменателя на z -1 будет иметь вид:

~ -1 -   Формула с использованием Z-

w(2) =1 -e ф = z (1-e ' ) преобразования будет являться
— 1 - z ~le ~0,2 точной, т.к. в моменты квантования kT
z-e ф    она дает истинные значения сигнала.

Приведём её к виду (11): y(kT) = 0.8187y((k-1)T)+0.1813u((k-1)T); (8.3) Получилась вычислительная формула, позволяющая вычислить текущее значение выхода через текущее значение входа и одно предыдущее (взятое из памяти) значение выхода.

Таким образом, необходимо иметь память на одно значение. Отметим, что (8.3) является точной формулой, так как аппарат z -преобразования гарантирует истинные значения функций в моменты квантования.

Покажем теперь, что вычислительная схема, которая может быть получена путём простой аппроксимации производной

непрерывного сигнала y(t): У (t) - y(t + dt) - y(t) = y(t + T) - y(t) (8.4)

dt T

в дифференциальном уравнении, соответствующем передаточной функции непрерывного фильтра (12):

Тф У(t) + y(t) +1 = u(t) - тф y((k +1T " y(kT) + y(kT) +1,

является приближением, получающимся из (8.3) при разложении
экспонент в ряд с оставлением линейных членов.
Получим схему вычисления: у(кТ) =(1-т/тф)у((к-1)Т) + Т/Тфи((к-1)Т);
В числах:        у(кТ) =0.8у((к-1)Т) + 0.2и((к-1)Т); (8.5)

Сравним (8.3) и (8.5) и видим, что ошибка в коэффициентах в (8.5) по сравнению с точной формулой (8.3) составляет около 20% и зависит от шага квантования Т, уменьшаясь вместе с ним. Это, впрочем, неудивительно, так как с уменьшением Т повышается и точность формулы (8.4).

Использование Z-преобразования и импульсной передаточной функции позволяет повысить точность цифровой реализации по сравнению с численными разностными методами.

В заключение приведём вычисление импульсной передаточной функции цифрового ПИД - регулятора, широко использующегося на практике в локальных системах автоматики и управления. Непрерывная (исходная) передаточная функция ПИД - регулятора c учётом фиксатора:

К

Wnud (Р) = Кп + — + Кдр ;

Р          -1         -1 <8"6>

Wnud(z) = Кп + Киt^-+Кдz-1 = Кп + Киt^-^ + Кд1 z

z -1 и Т            " 1 - z -1 и Т

Обозначим входной сигнал регулятора - е(кТ), выходной сигнал -у(кТ), тогда из (8.6) получим: u(kT)=u((k-1)T)+ Кпе(кТ)- Кпе((к-1)Т)- КиТе((к-1)Т)+ (Кд/Т)(е(кТ)- е((к-1)Т)); Перегруппируем члены и получим схему вычислений:

и(к)=и(к-1) + (Кп+ Кд/Т)е(к) - (Кп - КиТ - Кд/Т)е(к-1); (8.7)

Окончательно, чтобы программно реализовать цифровой регулятор, необходимо на цифровом контроллере (управляющей ЦВМ) выполнять следующие жёстко привязанные к таймеру операции:

ввести через АЦП текущее значение входного сигнала;

с использованием данных из памяти вычислить u(k) по (17);

вывести через ЦАП вычисленное значение управления u(k);

пересохранить переменные: u(k-1)= u(k); e(k-1)= e(k);

перейти к пункту 1.

Таким образом, чтобы цифровое устройство реализовывало необходимый алгоритм, заданный передаточной функцией, надо выбрать такой контроллер или, в более общем случае, платформу вычислительных средств и программное обеспечение, позволяющие производить обращение к устройствам ввода-вывода и вычисления в соответствии с алгоритмом и привязкой к жёсткому реальному времени.

Следует учитывать, что объекты автоматического управления обычно очень критичны к сбоям управления. Такие обычные вещи, как перегрузка операционной системы, временные "зависания" управляющего компьютера обычно совершенно недопустимы. В подобных случаях приходится применять дублирование (многократное), чтобы не допустить размыкания контура управления. Не следует путать работу в условиях помех с отказами в работе контроллера. Принципиальная разница здесь заключается в том, что алгоритм работы в условиях помех реализуется на работающем контроллере, то есть управление не теряется, а лишь корректируется при появлении того или иного вида помех. При сбоях же контроллера или программного обеспечения возникает совершенно иная ситуация. Кроме того, обычно теряется время на устранение такого сбоя за счёт ухудшения качества регулирования.

В настоящее время реальное положение дел таково, что ни операционные системы, ни языки программирования высокого уровня не могут гарантированно обеспечить необходимый уровень надёжности. Во всяком случае, инженер по управлению и автоматике должен чрезвычайно тщательно относиться к выбору аппаратно-программной реализации своих проектов. Это же относится и к сетевой компоненте системы автоматики, если таковая имеется. Дело в том, что многие общепринятые сетевые средства не предназначены для работы в реальном времени. Например, ни сеть Ethernet, ни протокол TCP/IP не гарантируют времени доставки пакетов, и если реализовать распределённую САУ с использованием сетевой компоненты на их основе, то можно столкнуться, например, с фактами резкого изменения качества работы регулятора в зависимости от загрузки сети.

Что касается распространённых контроллеров на основе РС-совместимой архитектуры, то лишь очень немногие из них обеспечивают требуемое качество и надёжность.

Нелинейные системы автоматического управления.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я