Лекция 2. Спектр квантованного сигнала.

1 2 3 4 5 6 7

Вершина импульсов считается плоской, а сами импульсы достаточно узкими, в противном случае учет неплоской вершины импульса приводит к большим сложностям, хотя такой учёт возможен.

Вычислим теперь спектр квантованного сигнала, т.е. выясним, что происходит со спектром при квантовании.

Для этого вначале разложим p(t) в ряд Фурье:

Подставим последнее выражение в (*) и получим:

» S sin(k^pS2) -jkcp2+jkcpt

p(t) = £ у-^      <г~■e 2

k=-*>1 ' S kcpS p 2

(S/T - скважность импульсов р(\))

со 1

f *(t)=£CJ (t' S

k=-со

Теперь можно найти спектр квантованного сигнала. Спектр f *(t): f= o(f *(t)) (преобразование Фурье)

Теорема о преобразовании Фурье:

Ф( x(t)' e]kCpt) = F (jc-jkcp ),

Эта простая теорема называется ещё теоремой о сдвиге изображения в частотной области. Она показывает, что умножение оригинала на мнимую экспоненту приводит к сдвигу

преобразования Фурье в комплексной области на этот же самый показатель. В силу этой теоремы можем записать:

со 1

Таким образом, вместо исходного спектра непрерывного сигнала получается спектр квантованного сигнала, состоящий из бесконечного числа компонентов. Рассмотрим характерные случаи.

Пусть исходный сигнал f(t) есть гармонический с частотой &0 :

f (t) = sinco0t

Линейчатый спектр

Некоторые коэффициенты Ск могут быть обращены в ноль выбором скважности импульсов квантования.

т.е. при некоторых соотношениях между частотой квантования и шириной импульсов квантования соответствующая гармоника может отсутствовать. Этим часто пользуются, если к спектру квантованного сигнала предъявляются дополнительные требования.

Пусть теперь исходный сигнал имеет конечную ширину спектра (0 - шс), или, в терминах обычной частоты:

Такой спектр должен встречаться чаще всего, и обычно известно, какова ширина спектра полезного сигнала. Однако, реально, спектр всё-таки не бывает жёстко ограниченным. Этому может мешать, например, наличие помех (шумов), в том числе, и от квантования.


частота квантования больше максимальной ширины спектра сигнала.

2. шр < 2шс


частота квантования меньше максимальной ширины спектра сигнал.

Рис. 2.4

Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала пересекаются и не отделены друг от друга. Несмотря на то, что после квантования полезный сигнал рассматривается лишь в полосе частотой (-wc ... wc ), именно в этой полосе частот появляются дополнительные составляющие, которые к тому же сдвинуты на величину никак не связанную с гармониками исходного сигнала, а зависящую от разности частотой квантования и частоты соответствующей гармоники.

Для того чтобы заведомо можно было бы восстановить исходный сигнал из квантованного должно выполняться условие (1), которое называется теоремой Котельникова-Шеннона или импульсной теоремой. Иногда также эта теорема называется теоремой отсчётов.

Теорема Котельникова - Шеннона:

При выполнении условия (1), что возможно в условиях ограниченного спектра сигнала и достаточно высокой частоты квантования шр > 2wc (Т < 1/(2fmax), потери информации не происходит и она может быть полностью восстановлена. То есть из квантованного сигнала можно без потерь восстановить исходный непрерывный сигнал.

Эта важнейшая теорема является теоретической основой всей цифровой обработки, хранения и передачи сигналов.

Заметим также что невыполнение условия Котельникова (1) ещё не означает, что восстановление исходного сигнала заведомо невозможно! Теорема Котельникова - Шеннона не является необходимым условием. Например, если форма исходного сигнала заранее известна, то он обычно может быть восстановлен и из сложного спектра квантованного сигнала при невыполнении (1). Но это будет уже , скорее, задача обнаружения известного сигнала, а не восстановление абсолютно неизвестного сигнала с конечной шириной спектра.

Снова отметим, что практически не бывает сигналов с конечной шириной спектра. Инженерное решение, применяемое в цифровой обработке сигналов, заключается в том, что ещё до квантования сигнала нужно ограничить полосу сигнала необходимой шириной, применяя фильтр предварительной обработки. Следует иметь ввиду, что такая фильтрация гораздо эффективнее фильтрации после квантования.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я