12.4. Адаптивные системы с явной эталонной моделью

12.4-1- Алгоритмы параметрической адаптации

1. Настройка коэффициентов уравнений состояния Рассматривается обобщенный настраиваемый объект (ОНО)

8 Более точно было бы сказать "к алгоритмам управления непрерыв­ного действия, " так как дискретные алгоритмы управления применяются и для непрерывных объектов.

где x(t) £TZn - вектор состояния обобщенного объекта; r(t) Є TZm - внешнее командное (задающее) воздействие; Л, В - пхп-и rtxra-матрицы неизвестных параметров ОНО; АЛ, АВ - пхп-и rtxra-матрицы настраиваемых параметров. Цель управле­ния - совпадение вектора состояния ОНО x(t) с вектором со­стояния xM(t) Є TZn (явной) эталонной модели, которая зада­ется уравнением

(t) + BMr(t), (12.26)

где Лм, Вм - пхп- и rtxra-матрицы, описывающие желаемую динамику замкнутой системы (матрица Ам гурвицева).

Алгоритмы адаптивного управления для решения поста­вленной задачи получены в ряде известных публикаций по теории беспоисковых самонастраивающихся систем с эталон­ной моделью (ВСНС с ЭМ) [41, 42, 74, 75]. Покажем, как выво­дится алгоритм адаптации по методу скоростного градиента [9, 103, 106].

Для этого введем целевой функционал Qt = ^е(г) Pe(t), где

e(t) = x(t) — xM(t) - вектор ошибки; Р = РТ > 0 - некоторая пхп-матрица, выбор которой будет описан ниже. Вычислим ш(х, в, t)=Qt = e(t)TP((A + AA)x(t) + (В + AB)r(t) - AMxM(t)+ +BMr(t)). 9 Тогда

9 Вектором настраиваемых параметров в в данном случае является набор элементов матриц AA(t), AB(t).

315

Проверка работоспособности алгоритма производится исхо­дя из указанных выше условий (при Дж,6Д) = 0). Условие выпуклости выполнено в силу линейности ОНО (линейности правой части (12.25) по в). Условие достижимости также, очевидно, выполнено при 0„ = со1{Лм — А,ВМ — В}. Матрица

Р = Р > 0 должна удовлетворять уравнению Ляпунова 10 РАМ + АМР = — G для некоторой G = G > 0. Действительно, тогда существует некоторое а0 > 0 такое что

Дж,6Д) = е(г)ГРЛме(г) = -0.5е(ДГ67е(Д < -a0Qt.

Условие роста выполнено для ограниченного xM(t), т.е. для ограниченного командного сигнала ДД

При влиянии возмущений может возникнуть неограничен­ный рост значений параметров регулятора. Для его предот­вращения целесообразно использовать регуляризованный ал­горитм адаптации [9, 103, 106]. Регуляризованный АСГ с функцией вида = а (в — в) выглядит как

где АА,АВ - некоторые априорные оценки настраиваемых параметров (подробнее см. в [64]).

Скорость настройки параметров можно увеличить, если использовать АСГ в конечно-дифференциальной форме (А.6), (А.8), которая дает следующие пропорционально-дифференци­альные алгоритмы адаптации

ftAA(t) = -7Pe(t)x(t)T - 7lft{Pe(t)x(t)T), ftAB(t) = -7Pe(t)r(t)T - 7ld.(pe(t)r(t)T), 7i > 0.

Д2.30)

Можно убедиться, что алгоритмы адаптации (12.28), (12.30) обладают идентифицирующими свойствами, т.е. A+AA(t)—> —> Лм, В + AB(t) -+ В м при t —У оо, если вектор-функция со1{жм(Д r(t)} обладает достаточным разнообразием, т.е. мо­дель (12.26) достаточно полно возбуждается входным сигна­лом (например, r(t) содержит не менее п различных по часто­те гармоник, а модель полностью управляемая). 2. Настройка коэффициентов регулятора

Пусть уравнения объекта имеют вид

10 Вывод этого уравнения из условий существования у линейной систе­мы квадратичной функции Ляпунова приведен в 11.4.4. на с. 274.

316

x(t) = Ax(t) + Bu(t), (12.31)

где x(t) Є TZn - вектор состояния, u(t) Є TZm - управляющее воз­действие. Через r(t) ETZm по-прежнему обозначим командное (задающее) воздействие.

Д 1 т

Снова возьмем целевую функцию в виде Qt = Ре, е =

= e(t) = x(t) — xM(t), Р = РТ > 0, где xM(t) - вектор состоя­ния эталонной модели (12.26). Пользуясь схемой скоростного градиента, получаем

Здесь К* = В+Вм, К* = В+(АМ - А), т.е. Ам - А С С(В), Вм С С,(В), где С(В) - линейное подпространство, порожден­ное столбцами матрицы В. Это в свою очередь эквивалентно соотношению

гапкБ = гапк{Б, Вм) = гапк{Б, Ам - А]. (12.35)

Условия (12.35) называются условиями Эрцбергера , услови­ями адаптируемости, совместимости или точного соответ­ствия модели".

При выполнении этих условий существуют матрица Р = = Р >0 и вектор-функция и*(г) такие, что ш(х, 9,t)<-e{t) Ge(t)< < —aoQt, т-е- условие достижимости (АЛО) выполнено при p(Qt) = &oQt- Матрица Р может быть найдена из решения уравнения Ляпунова

РАМ + АІР = -G, G = GT > 0.

в = со\{Кх, Кг}. Скоростной градиент получается в виде

Возьмем в качестве вектора настраиваемых параметров Скоростной градиент пол}

Алгоритмы вида (12.37) были получены в работах [38, 41, 75].

Известны результаты, согласно которым число производ­ных от выхода объекта с передаточной функцией W(s) = -77-т,

A(s)

используемых в алгоритме управления, можно снизить до п — к — 1, где к = degB(s). При этом требуется минимально-фазовость объекта, т.е. гурвицевость полинома B(s) (по это­му поводу см. также п. 12.1. утверждение относительно пе­редаточной функции (12.18) на с. 304).

Кроме того, начиная с 70-х годов появилось большое чи­сло публикаций, посвященных задаче адаптивного управле­ния без измерения производных от выхода [39, 64, 69]. В 12.6.5. кратко описывается применение для этой цели адаптивных наблюдающих устройств. Другой подход, основанный на ме­тодах неявной эталонной модели и шунтирования, предста­влен в п. 12.7.

12-4-2. Алгоритмы сигнальной адаптации

Алгоритмы сигнальной адаптации [74, 75, 170] не предполага­ют настройки параметров регулятора. Они относятся к АСГ в конечной форме.

Рассмотрим снова задачу слежения с явной эталонной мо­делью (12.26). Уравнения объекта возьмем в виде (12.31).

Используя целевую функцию Qt = \e(tf Pe(t), Р = РТ > 0,

мы получаем (12.32): Qt = Дж,6Д) = e(tf P(Ax(t) + Bu(t) -AMxM(t) — BMr(t)). Как и выше, матрица Р находится из урав­нения Ляпунова РАМ + АТМР = — G для некоторой G = GT > 0. Используем теперь в качестве вектора настраиваемых пара­метров непосредственно сигнал управления u(t) (0(f) = u(t)), и получим алгоритм управления в виде АСГ в конечной фор­ме (А.15), (А.9). Для этого вычислим скоростной градиент

Vuu(x,6) = ВТ Pe{t).

Отсюда алгоритм (А. 15) принимает (при в0 = 0) вид

u(t) = - ysign (ВТ Pe(t)). (12.38)

Алгоритмы вида (12.38) обладают высоким быстродействи­ем, но у них отсутствуют идентифицирующие свойства (это очевидно, так как нет настраиваемых параметров). При из­менении параметров объекта в широких пределах целесо­образно использовать сигнально-параметрические алгорит­мы, описанные в ниже.

12-4-3. Алгоритмы сигнально-параметрической адаптации

В системах с сигнально-параметрической адаптацией [43, 75] сигнальная составляющая вводится обычно для обеспечения высокой скорости настройки и компенсации быстрого изме­нения параметров. Параметрическая адаптация включает интегральную составляющую для компенсации параметри­ческих и координатных возмущений, которые меняются до­статочно медленно, но в широких пределах.

В качестве примера рассмотрим систему, в которую вхо­дят объект управления (12.31) и эталонная модель (12.26). Цель управления: e(t) —> 0 при t —> оо.

Функционал качества зададим в виде Qt = 2еW Ps(t). То­гда выражение для Q имеет вид (12.32). Можно убедиться, что выполнение условий (12.35) обеспечивает единственность решения (12.33) относительно и* Є TZm для всех х,хм Є TZn и г £lZm. Для к* имеем соотношение

и, = К*мхм + К*гг + и„ (12.39)

где К*хм = В+(АМ - А), К; = В+Вм, и* = В+(АМ - А).

Таким образом, при выполнении условий адаптируемо­сти имеются матрица Р = Р > 0 и вектор-функция u*(t) вида (12.39) такие, что выполняется условие достижимости (АЛО). Матрица Р находится как решение уравнения Ляпу­нова РАМ + АТМР = -G, где G = GT > 0.

По аналогии с выражением (12.39) выберем алгоритм упра­вления в основном контуре в виде

u(t) = KXM{t)xM{t) + Kr{t)r{t) + us(t), (12.40)

где KXM(t), Kr(t), us(t) - настраиваемые параметры, образую­щие вектор 9(t) = col{KXM(t), Kr(t),us(t)}. Задаваясь матрицей Г в блочно-диагональной форме

получим алгоритм управления

u(t) = KXM(t)xM(t) + Kr(t)r(t) — 7sign (В Pe(t),), jrKXM(t) = -7lBTPe(t)xM(t), (12.41) ftKr(t) = -ЪВТPe(t)r(t)T,

где 7i, 72, 7 > 0.

Наиболее сложной задачей при построении систем с явной эталонной моделью является построение основного контура системы, обеспечивающего выполнения условий адаптируе­мости (12.35). Это приводит к сложной структуре системы для объектов высокого порядка и многосвязных (MIMO) объ­ектов [74, 93]. Рассмотренные в следующем параграфе алго­ритмы с неявной моделью, а также близкие к ним алгоритмы систем с переменной структурой (см. главу 12.1.) лишены этого недостатка. Поэтому такие системы могут быть ре­комендованы, когда системы с явной моделью нереализуемы либо слишком сложны для использования.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я