7.1. Основные определения

Понятия управляемости и наблюдаемости являются одними из основных понятий теории управления. На содержатель­ном уровне управляемость означает принципиальную воз­можность приведения системы в любое заданное состояние, а наблюдаемость - возможность определения состояния си­стемы по результатам измерений. Эти свойства весьма су­щественны для построения работоспособных систем авто­матического управления. Приведем некоторые определения [3, 30, 44, 47, 83].

Определение 1. Состояние х* достижимо из состояния х0, если существует допустимое (кусочно-непрерывное) упра­вление W[to tl], определенное на конечном промежутке ДД], 0 < ti — t0 < оо такое, что система под действием управле­ния U[t0itl] переводится из начального состояния x(t0) = х0 в конечное x(ti) = X*.

Определение 2. Система называется сильносвязной (впол­не достижимой), если у нее каждое состояние достижимо из любого другого. Другими словами, у подобных систем нет таких областей в пространстве состояний, в которые за ко­нечное время нельзя попасть из любых других областей под действием допустимого управления.

Для линейных систем понятие сильносвязности переходит в понятие полной управляемости.

В качестве примера системы, для которой это свойство отсутствует, можно рассмотреть объект, состоящий из зве­на с насыщением, последовательно соединенного с аперио­дическим звеном: Ui(t) = s&t(u(t)), Tx(t) + x(t) = Ui(t) (и - управление, sat(-) - функция насыщения; рис. 7.1). Оче­видно, что не существует функции u(t) такой, что из началь­ных состояний До : |жо| < 1} система переводится в область

Как указано в п. 1.1. состояние детерминированной систе­мы характеризуется тем, что при заданном начальном состо­янии x(t0) = х0 выход системы уД) однозначно определяется ее входом u(t) на промежутке [ДД]. Однако по отношению к х0, эта связь может быть не взаимно-однозначной: может

оказаться, что имеется множество различных состояний та­кое, что при любом начальном состоянии из этого множества и для любого входного воздействия получаются одинаковые реакции.


Определение 3. Состояния х'0 и х" называются эквива­лентными, х'0 ~ x'q, если при любом входном процессе и(t) вы­ходы системы при начальном состоянии x(t0) = х'0 и x(t0) = х" совпадают (рис. 7.2).

Определение 4. Система называется редуцированной, если у нее нет различных эквивалентных состояний, т.е. каждое состояние эквивалентно только самому себе. Иными слова­ми, для редуцированных систем при любом входе и любом начальном состоянии отображение вход-состояние-выход не только однозначно, но и взаимно - однозначно.

Определение 5 (управляемости). Линейная система (ЛС) полностью управляема (управляема), тогда и только то­гда, когда для любых ж+ и t0 существуют 0 < Т < оо и кусочно-непрерывное управление ti[t0 tl], ti = to + T, такое, что при x(to) = 0 и управлении U[t0jtl] имеет место ar(fi) = х*.

Замечание 1. Для линейных систем это означает, что каждое состояние достижимо из любого другого, т.е. уп­равляемость для них эквивалентна сильносвязности.

Замечание 2. Если управляемая линейная система стационарна, то попадание в х* можно обеспечить за любое заданное Т > 0.

В некоторых приложениях также представляет интерес уп­равляемость по выходам, которая означает возможность при­ведения выхода объекта в заданную точку. В работе [93] приводится группа различных понятий управляемости, куда кроме указанного понятия относится также возможность при­ведения объекта из любой точки некоторой замкнутой обла­сти в произвольную точку этой области без выхода за ее границы, перехода из заданной области в область меньшей размерности и т. д.

Определение 6 (наблюдаемости). ЛС полностью на­блюдаема (наблюдаема) тогда и только тогда, когда существу­ет 0 < Т < оо такое, что при всех t0, x(t0), W[to tl], Д = t0 + T) можно no t/[t0jtl] и U[t0itl] однозначно определить x(t0).

Замечание 3. Для стационарной наблюдаемой Л С значение x(t0) можно определить за любое заданное Т > 0.

Замечание 4. Так как наблюдаемость, если она есть, должна быть и при нулевом входе, можно считать, что система наблюдаема, если для нее по у^^] можно однозначно определить x(t0) при u(t) = 0. Можно показать: это условие эквивалентно тому, что из y(t) = 0 при u(t) = 0 для всех t Є ДД] следует: x(t0) = 0.

Естественно, что для стационарных ЛС проверку условий управляемости и наблюдаемости можно выполнять не для всех to, а только для одного (например, f0 = 0). 1

Наиболее сильной формой управляемости является норма-лизуемостъ (нормальность). Говорят, что система нормаль­на, если управляемость имеется по каждой компоненте векто­ра управления. Для систем со скалярным входным процессом управляемость и нормализуемость совпадают.

Возможен случай частично управляемой системы, у кото­рой не все состояния достижимы из нулевого за конечное вре­мя. Пространство состояний таких систем может быть пред­ставлено как прямая сумма подпространств управляемых и

1 Для нестационарных систем рассматриваются также достижимость и восстанавливаемость [47], которые в стационарном случае совпадают соответственно с управляемостью и наблюдаемостью. Поскольку далее рассматриваются, в основном стационарные системы указанные понятия здесь не уточняются.

неуправляемых состояний. Аналогично пространство состо­яний частично наблюдаемой системы можно разбить на под­пространства наблюдаемых и ненаблюдаемых состояний.

Определение 7. ЛС называется стабилизируемой, если у нее подпространство управляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Стабилизируемость означает принципиальную возмож­ность получения устойчивой замкнутой системы: собствен­ные движения неуправляемой части системы в этом случае устойчивы, а на неустойчивую подсистему можно воздей­ствовать соответствующим управлением. Очевидно, что пол­ностью управляемая система стабилизируема (так как у нее нет неуправляемых состояний). Устойчивая система тоже стабилизируема, так как у нее все пространство состояний является подпространством устойчивых состояний.

Определение 8. ЛС называется обнаруживаемой, если у нее подпространство неуправляемых состояний принадлежит подпространству устойчивых состояний.

Полностью наблюдаемые, а также устойчивые системы об­наруживаемы.

Определение 9. Полностью наблюдаемая и полностью упраляемая линейная система называется невырожденной.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я