6.4. Дискретные модели непрерывных систем

Важным следствием из формулы Коши являются алгоритмы преобразования моделей систем, заданных в виде дифферен­циальных уравнений, к разностным уравнениям. Это пре­образование связано с задачей построения дискретных мо­делей непрерывных систем. Рассмотрим ее более подробно.

x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) =Cx(t) + Du(t), teTZ. (6.13)

Требуется получить эквивалентную систему разностных урав­нений: 3

a;[ifc+l]=Pa;[A;]+Qu[A;], y[k] =C"x[k] + D'u[k], k = 0,1,... . (6.14)

Эквивалентность систем понимается в том смысле, что при соответствующих начальных условиях их реакции на одно и то же входное воздействие совпадают. Более подробно, это означает, что при u[k] = u(tf.), где tf. = кТ0, Т0 = const -интервал квантования, или период дискретности, выполнено y[k] = y(tf.) - решения уравнений (6.13) и (6.14) совпадают при h = кТ0.

Перечислим ряд приложений, для которых решение этой задачи актуально.

Исследование импульсных систем. Импульсные системы фактически являются системами непрерывного дей­ствия, но в силу прерывания измерений сигнала импульсным элементом они ведут себя, как нестационарные с периоди­чески изменяемым коэффициентом. Существенно упростить исследование таких систем можно, если представлять их дис­кретными моделями, описывающими процессы относительно моментов "срабатывания" импульсного звена.

Исследование цифровых систем управления. Это приложение является одним из наиболее актуальных в свя­зи с широким применением цифровых вычислительных устр­ойств в САУ.

3 Здесь и далее при указании на значение функции дискретного аргу­мента к = О,1,... последний помещается в квадратные скобки. Значения одноименной функции вещественного аргумента і Є 72., при записи кото­рых использованы круглые скобки, могут быть, вообще говоря, другими.

В таких системах управляющая ЭВМ работает в режиме реального времени совместно с управляемой (непрерывной) системой. По принципу действия ЭВМ является устройством дискретного времени и процесс преобразования в ней сигна­ла описывается разностными уравнениями. Таким образом,

имеется "гибридная" система, модель которой имеет вид ди­фференциально-разностных уравнений. Распространенным методом исследования таких систем является переход к еди­ной форме описания как регулятора (закона управления), так и объекта в виде разностных уравнений. Таким образом, в данном случае требуется найти дискретную модель управля­емого объекта.

Синтез цифровых систем управления по непре­рывной модели. Данный подход является в некотором смы­сле альтернативным предыдущему. В соответствии с ним си­стема в целом рассматривается сначала как непрерывная и для нее известными методами теории непрерывных систем разрабатывается закон управления. Затем выполняется пе­реход к описанию полученного закона разностными урав­нениями для цифровой реализации. После этого произво­дится исследование синтезированной непрерывно-дискретн­ой системы, которое позволяет установить, насколько суще­ственным является квантование процесса управления на ди­намику. Отметим, что при достаточно малом (по сравне­нию со временем tn переходных процессов в замкнутой си­стеме) интервале Т0 это влияние обычно оказывается незна­чительным и такой подход оправдан. 4 Данный метод нахо­дит широкое применение в близкой задаче синтеза цифровых частотно-избирательных фильтров по аналоговому прототи­пу [26].

Обоснование и исследование применимости этого метода для широкого класса нелинейных систем дано в рамках так называемого "метода непрерывных моделей" [36].

Численное решение дифференциальных уравне­нии. При решении дифференциальных уравнений на ЭВМ реализуется некоторая рекуррентная процедура. Эта проце­дура описывается соответствующим разностным уравнени­ем, которое может рассматриваться в качестве дискретной модели исходной непрерывной системы.

4 В цифровых системах управления непрерывными объектами реко­мендуется выполнение соотношения То < 0.05tn, так как в противном слу­чае значения непрерывного процесса между "узлами" квантования могут существенно отличаться от рассчитанной дискретной последовательно­сти. Другим ограничением на То является требование подавления возму­щений и помех.

Следует отметить, что в общем случае поставленная вы­

ше задача не имеет точного решения. Это связано с тем, что при дискретизации входного процесса теряется информация о его значениях между узлами квантования. Следователь­но, выход дискретной модели от этих значений зависеть не может, в то время как реакция исходной непрерывной систе­мы, естественно, зависит от всех значений входного процесса. Поэтому в общем случае неизбежна алгоритмическая ошиб­ка. Однако имеются ситуации, в которых дискретная модель, в принципе, может быть построена точно. Для этого требует­ся, чтобы значения процесса u(t) при tk_i < t < tk, tk = кТ0 од­нозначно определялись последовательностью ДД)}|0 Из рассмотренных выше приложений это характерно для им­пульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией пер­вого рода, а также для цифровых систем управления, если в качестве входного процесса рассматривается управляющее воздействие от ЭВМ. Действительно, в последнем случае ис­ходным является дискретный процесс и[к], который преобра­зуется в непрерывный входной сигнал u(t) с помощью экс-траполятора. Поэтому, зная процесс и[к], можно однозначно восстановить ДД Для других случаев характерна методиче­ская ошибка. Ее значение будет тем меньше, чем медленнее изменяется входной процесс или чем меньше значение Т0.

Перейдем к изложению некоторых результатов. Описан­ный ниже метод применим для различных способов экстрапо­ляции процесса ДД Остановимся на простейшем и наиболее распространенном случае использования жстраполятора ну­левого порядка ("фиксатора"), для которого

u(t) = u(tk) при tk <t < tk+i, tk = kT0, k = 0,1, 2,... . (6.15)

6.4-2. Формулы перехода к разностным уравнениям

Рассмотрим задачу вычисления матриц Р, Q, С", D' в (6.14) по заданным матрицам А, В, С, D в (6.13), исходя из сфор­мулированного в п. 6.4.1. требования эквивалентности ука­занных систем по отношению к входному процессу ДД Для простоты изложения ограничимся кусочно-постоянными про­цессами вида (6.15). В классической теории управления из­вестно решение этой задачи с использованием аппарата пе­редаточных функций и z-преобразования [15, 76, 95]. В со­ответствии с ним передаточная функция дискретной моде-

Используя формулу Коши (6.9), проинтегрируем уравне­ние (6.13) на интервале [tk, tk+i], полагая на нем u(t) = u(tk) при х0 = x(tk). Получим

Для вычисления интеграла введем новую переменную в =

ftk+1 До

гая вначале матрицу Л невырожденной (det А ф 0), получим

До

что / еАто!т = Л_1(еАТ° — 1п), следовательно,

x(tk+1) = eAT°x(tk)+A-\eAT° - In)Bu(tk), det А ф 0. (6.16)

Согласно уравнению выхода в (6.13), y(tk) = Cx(tk) + Du(tk). Сопоставим найденным для моментов tk значениям непре­рывного процесса значения переменных дискретной модели: х[к] = x(tk), и[к] = u(tk), у[к] = y(tk). Сравнивая уравнение (6.14) с полученным выражением (6.16), находим, что матри­цы Р, Q, С", D' определяются равенствами (при det Л ф 0)

Р = еАТо, Q = А~\Р - Д) В, С" = С, ГУ = D. (6.17)

Когда выполнен переход к (6.14), можно получить переда­точную функцию дискретной системы по приведенной в главе 1.5. формуле:

Wv(z)=C(zIn-P)-1Q + D. (6.18)

Этот результат совпадает с указанным выше соотношением для \¥ДД полученном на основе изображения переходной функции, но он основан на использовании матричных опера­ций и уравнений состояния. Широкое применение излагае­мого в настоящем параграфе метода обусловлено наличием

достаточно эффективных вычислительных алгоритмов и их программной реализации.

При выводе формулы (6.17) для матрицы Q сделано пред­положение о невырожденности матрицы А, которое является сильно ограничивающим. Прежде чем обсудить пути преодо­ления возникающих при этом трудностей, рассмотрим неко­торые методы вычисления матричной экспоненты.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я