3.2. АППРОКСИМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ

На рис. 3.9 изображена структурная схема оптимальной по быстродействию сис­темы, из которой следует, что для реализации оптимального регулятора требуется функциональный преобразователь на два входа. Число входов функционального пре­

образователя определяется размерностью пространства, в котором осуществляется синтез оптимального управления. Например, если поверхность переключения строи­лась в «-мерном фазовом пространстве, то для реализации оптимальной системы не­обходим функциональный преобразователь на «-1 входов.

Поверхность переключения после соответствующих расчетов, как правило, за­дается дискретно в виде некоторого массива чисел. Поэтому для реализации опти­мального регулятора необходимо выполнить аппроксимацию поверхности пере­ключения, т.е. получить для задания поверхности переключения аналитическую зависимость. Вид аппроксимирующей функции существенно зависит от того, какие вычислительные элементы будут использоваться при построении функционального преобразователя.

Цифровые вычислители обладают большой универсальностью и в этом смысле не накладывают практически никаких ограничений на формулу аппроксимирующего выражения. Но в оптимальной системе вычислитель работает в реальном масштабе времени, и поэтому при выборе аппроксимирующей функции следует стремиться к тому, чтобы уменьшить объем вычислений, необходимый для формирования сигнала управления. Аналоговый вычислитель мгновенно отрабатывает сигналы, поступаю­щие на его вход. Однако он накладывает весьма жесткие ограничения на вид аппрок­симирующей функции.

Аппроксимация поверхности переключения для систем произвольного порядка рассмотрена в [46]. Однако строгий синтез оптимальной системы для объектов высо­кого порядка очень сложно осуществить на практике. Поэтому для систем высокого порядка, как правило, используют приближенные методы синтеза, о которых речь пойдет ниже. На этом основании в данном параграфе мы остановимся на аппрокси­мации поверхности переключения только для систем третьего порядка.

Для систем третьего порядка поверхность переключения задается равенством

*1 = f{x2'xl)-

В процессе расчета точек, поверхности переключения легко построить сечения по­верхности переключения какими-либо плоскостями, например,

х2 = const.

На рис. 3.11 представлен вид таких сечений для одного конкретного объекта управления. Каждое такое сечение можно аппроксимировать выражением вида

здесь фу(хз) (і — номер сечения) — некоторые известные функции, а значения

(« + 1) коэффициентов ссу, например, определяются по методу наименьших квадра­тов, т.е. выбираются так, чтобы минимизировать среднюю квадратическую ошибку

(3.26)

В равенстве (3.26) х3(к) — расчетные точки. Коэффициенты a'j определяются из уравнений

. £L = o(y = M). (3.27)

Уравнение (3.27) приводит к системе линейных алгебраических уравнений (и + 1) порядка.

На практике в качестве аппроксимирующего выражения (3.25) часто используется многочлен, т.е.

X а>/Ы = Х C'jxj, (3.28)

здесь неизвестными являются (и + 1) коэффициентов C'j. Коэффициенты С'- много­члена (3.28) зависят от сечения, т.е. являются функциями х2. Рассчитав для каждого сечения аппроксимацию (3.28), найдем, как зависят коэффициенты C'j от перемен­ной х2. Для коэффициентов C'j, в свою очередь, можно построить аппроксимирую­щую зависимость, используя для этого, например, многочлены степени / с неизвест­ными коэффициентами Ь^. Коэффициенты bl можно также определить по методу наименьших квадратов. В результате получим аппроксимацию вида

j=0 v=0

Применение для аппроксимации сечений многочленов не всегда оправдано. Вообще при выборе аппроксимирующих зависимостей необходимо учитывать частные осо­бенности сечений. В частности, весьма полезными могут оказаться ортогональные разложения.

Остановимся подробно на еще одном способе аппроксимации, который, на наш взгляд, хорошо учитывает частные особенности поверхности переключения и кото­рый позволяет получить достаточно точную и сравнительно простую аппроксими­рующую зависимость.

В дальнейшем будем считать, что f(x2,x3) — непрерывная функция, заданная в некоторой области D. В силу симметрии поверхности переключения

f(-x2,-x3) = -f(x2,x3).

Будем функцию f(x2,x3) аппроксимировать выражением h{x3+k{x2) + g(x2+k2x3), полагая, что h и g — непрерывные функции. Функции h и g и неизвестные числа кх и к2 найдем из условия минимума функционала

/= \\[f(x2>x3)-h(x3+kix2)-g(x2+k2x3)f dx2dx3. (3.29) d'

Область D (/Усі)) представляет собой параллелограмм, ограниченный прямыми

З          1 2  1. 3          12 1.

Хп — ^2"^3 ^2'  ~ кпХ^

Найдем минимум функционала (3.29). Выберем произвольные непрерывные функ­ции h(x3 + к)Х2) и g(x2+k2x3) и дадим hug приращения zlh(x3+k]x2) и

z2g(x2 + к2х3), а коэффициентам ку и к2 —приращения є3 и є4. В результате получим / (є,, є2, є,. гч) = jj [/ (х2,х3) - h (х3 + кхх2 + е3х2) -

—є,Л (х3 + кхх2 + г3х2) - g {х2 + к2х3 + е4х3) --e2g(x2 + к2х3 + є4х3)]2 dx2dx3.

Отметим, что, хотя область D определяется через неизвестные коэффициенты А:, и к2, она предполагается заданной. Поэтому коэффициенты кх и к2 в равенствах

(3.30) не варьируются. Задание области D* соотношениями (3.30) позволяет сущест­венно упростить окончательный результат.

де, dl_

Если функции h(x3 + кхх2) и g(*2+^2*3) Доставляют минимум функционалу (3.29), то должны выполняться следующие условия: ді

Соотношения (3.33) являются уравнениями Эйлера для функционала (3.29) и позво­ляют определить аппроксимирующие функции /г(jc3 +кхх2), g{x2+k2x3) и коэффи­циенты кх и к2. Аппроксимация

f(x2,x3)*h(x3+kxx2) + g(x2+k2x3) (3.34)

позволяет легко построить функциональный преобразователь на два входа. Для этого требуются лишь два нелинейных преобразователя с одним входом и суммирующие звенья. Следует отметить, что, несмотря на простой вид, выражение (3.34) часто ап­проксимирует поверхность переключения с довольно высокой точностью. Объясня­ется это частными особенностями поверхности переключения.

Нарис. 3.11 изображены сечения поверхности переключения некоторого объек­та управления плоскостями х2 = const. Назовем сечение поверхности переключе­ния плоскостью х2 = 0 нулевым сечением.


Из рис. 3.11 видно, что любое сечение может быть получено приближенно путем сдвига (без вращения) нулевого сечения вдоль осей х3 и хх. Это дает возможность представить (приближенно) уравнение поверхности переключения в виде

Подпись:


В равенстве (3.35) функция ср задается графиком нулевого сечения, функция у (х2) учи­тывает смещение нулевого сечения вдоль оси х3, а функция Р(х2) — ВДОЛЬ ОСИ X,. Если считать функцию у(х2) линейной (а это обычно имеет место), то равенство

(3.35) является частным случаем аппроксимации (3.34). Этим и объясняется доста­точно высокая точность аппроксимации (3.34).

Для численного решения системы уравнений (3.33) можно рекомендовать метод Ньютона, причем в качестве начальной точки поиска целесообразно использовать соответствующие значения, полученные по «методу сечений». Хороший выбор на­чальной точки обеспечивает быструю сходимость метода Ньютона.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я