1.6. Деформації і переміщення

Під дією зовнішніх навантажень конструкція деформується - змінює свої форми і розміри. При цьому її точки деяким чином переміщуються.


Розглянемо пружне тіло, що у природному стані займало в просторі деяку область. Положення кожної точки цієї області в декартової системі координат, визначається трьома координатами: x, y, z, крім того, її положення можна визначити вектором r(x,y,z) (рис. 1.3). Унаслідок прикладених до тіла зовнішніх впливів, тіло в загальному випадку змінить свою форму і переміститься в деяку іншу область, при цьому точки теж перемістяться.

Тепер їхні координати в декартової системі координат зміняться, і

положення точки буде визначатися деяким іншим вектором r (x' , y' , z' ) .

Зміну  положення  точки  визначимо  вектором переміщення:

U(U, V, W) = r - r. Координати цього вектора можна визначити в такий

спосіб: U = x' -x , V = y' -y, W = z' -z.

Крім того, що в процесі деформування, точки змінюють своє положення, міняється відстань між ними. Це зміна, віднесена до первісної відстані між ними, називається деформацією (відносна лінійна деформація). Розглянемо деформацію деякого елемента ds. Квадрат довжини цього відрізка буде дорівнює: ds2 = dx2 + dy2 + dz2, де dx, dy, dz -

декартові координати відрізка. Деформація в напрямку s буде визначатися співвідношенням: es = (ds1 - ds)/ds, де ds1 - довжина розглянутого елемента після деформування. Квадрат цієї довжини можна визначити за формулою:

ds2 = (1 + 2є x)dx2 + (1 + 2e y)dy2 + (1 + 2ez)dz2 + + 2gxydxdy + 2gyzdydz + 2gxzdxdz,

де є - відносна лінійна деформація грані, рівнобіжної відповідний осі;

у - зміна первісно прямого кута (кутова деформація) між гранями у відповідних напрямках.

Таким чином, знаючи вхідні у це вираження лінійні і кутові деформації у координатних напрямках, можна визначити деформації у будь-якому напрямку. За визначенням, лінійні деформації у відповідних напрямках будуть визначатися за формулами [10]:

є x =Adx/dx = dU/dx;

є y =Ady/dy = dV/dy; (1.6) є z =Adz/dz = dW/dz.

Тоді довжина деформованого відрізка в напрямку x дорівнює dxex = dx' - dx ^> dx' = dx (1 + ex).  Аналогічно:  dy' = dy (1 + ey),

dz' = dz (1 + ez).

Сукупність лінійних деформацій у різних напрямках і кутових деформаціях у різних площинах, що проходить через розглянуту крапку, являють собою деформований стан у точці тіла.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я