6.5. Напруження і деформації при крученні

Для того, щоб визначити напруження, які виникають у поперечних перерізах вала, розглянемо внутрішні зусилля, що виникають у цих перерізах при крутінні. З усіх силових факторів ненульовим виявляється тільки крутний момент, відповідно до співвідношень (1.4), який можна визначити в такий спосіб, якщо сполучити систему координат з центром ваги перерізу:

M кр = j (xzy -t yz)dA = j tpdA; (6.8)

A A

де т - дотичне напруження, що діє на елементарній площадці dA, напрямок якого є перпендикулярним до прямої, проведеної до цієї площадки від центра ваги перерізу, як показано на рис. 6.5;

р - відстань від центра перерізу до елементарної площадки dA.

АА т

Для того щоб з'ясувати геометричну картину деформування круглого вала при крученні, на його поверхню наносять сітку, що складається з ліній, рівнобіжних осі і ліній, що представляють рівнобіжні кола. При дії моменту, що скручує, твірні циліндра переходять у гвинтові лінії, з великим шагом; рівнобіжні кола не

викривляються і відстань між ними не міняється; радіуси, проведені на торцях брусу, після деформування залишаються прямими. Припускаючи це приходимо до гіпотези плоских перерізів:

поперечні перерізи вала, плоскі й перпендикулярні до його осі до деформування, залишаються плоскими і перпендикулярними до осі і після деформування, вони тільки повертаються на деякі кути навколо неї;

радіуси поперечних перерізів не викривляються і зберігають свою довжину;

відстані уздовж осі вала між поперечними перерізами у процесі деформування не змінюються.

Ці припущення справедливі (як показує практика і більш точні дослідження деформування) для брусів, що мають суцільний круглий чи кільцевий поперечний переріз.

Розглянемо деякий вал, навантажений моментом, що скручує, Мскр. Виділимо деяку ділянку вала (рис. 6.6), яка наведена на рис. 6.3, довжиною dx. Припустимо, кут повороту перерізу щодо нерухомої системи координат, буде j, а кут повороту перерізу розташованого на відстані dx буде j+dj. Таким чином, кут закручування розглянутої ділянки буде dep.

Розглянемо деформування прямокутного елемента AB'D'C, виділеного в поверхні вала, як показано на рисунку. Так як радіуси залишаються прямими, то відрізок О'В' повернеться в площині поперечного перерізу на кут закручування dj і займе положення О'В, а твірна АВ' займе нове положення АВ під кутом у, аналогічно, твірна CD' займе положення CD.

t

Так як довжина цих відрізків не
змінюється, деформування прямо-
кутного елемента AB'D'C полягає в зміні
спочатку прямих кутів на величину у, як
наведено на рис. 6.7, а кутові деформації
є наслідком дотичних напружень. Таким
чином,            розглянутий елемент

знаходиться в умовах чистого зсуву і на його гранях діють дотичні напруження t.

З урахуванням цього кут у є кутом зсуву і, з урахуванням його малості, дорівнює:

Аналогічно можна виділити такий само елемент усередині вала на довільній циліндричній поверхні радіуса р. У цьому випадку кут зсуву буде дорівнювати:

y = Jp. (6.10)

Так як розглянутий елемент усередині вала на циліндричній поверхні радіусом р знаходиться у стані чистого зсуву, то співвідношення (6.10), з обліком (6.2) можна подати у вигляді:

t = GJp. (6.11)

Зі співвідношень (6.10) і (6.11) випливає, що кути зсуву і дотичні напруження в поперечному перерізі змінюються за лінійним законом прямо пропорційно відстані від центра ваги перетину (рис. 6.8). Максимальні дотичні напруження будуть на зовнішній поверхні вала, де p=R:


tmax = GJR. (6.12)

Для того, щоб зв'язати внутрішні зусилля, що виникають у валу і його деформації, підставимо співвідношення (6.11) у (6.8) і з обліком (4.10):

де Ip - полярний момент інерції розглянутого перерізу.

Зі співвідношення (6.13) можна одержати формулу для визначення відносного кута закручування вала:

M

J =  , (6.14) де GIp - жорсткість вала при крученні.

Використовуючи вираз (6.14), можна визначити кут закручування ер двох перерізів, розташованих на відстані l відносно один одного:

Якщо в межах розглянутої ділянки, крутні моменти і жорсткість не змінюється уздовж вала, то можна записати:

ер= M^. (6.16)

Ця формула встановлює лінійний зв'язок між внутрішнім зусиллям при крученні (крутним моментом) і деформацією (кут закручування) і називається законом Гука при крученні. Формула справедлива у випадку, коли дотичні напруження не перевершують межи пружності.

Для визначення дотичних напружень у точках перерізу на відстані p від центра ваги підставимо у формулу (6.11) вираження відносного кута закручування (6.14):

х = М^. (6.17)

Максимальне дотичне напруження, що діє на зовнішній поверхні вала, буде відповідно (6.12):

де R - радіус круглого перерізу чи радіус зовнішнього кола кільцевого перерізу;

Wp - момент опору при крученні.

Момент опору при крученні дорівнює відношенню полярного моменту інерції до максимально вилученої від центру ваги точки

перерізу p :

(6.19)

Для круглого перерізу:

Wp=pd3 p 16

Для кільцевого перерізу, із внутрішнім діаметром d і зовнішнім D буде дорівнює:

З умови міцності найбільші дотичні напруження, що виникають, не повинні перевищувати допустимих напружень (2.9):

tmax    . (6.20)

Допустимі напруження [t] при крученні, як і при розтягу-стиску, залежать від властивостей матеріалу і від прийнятого коефіцієнта запасу міцності:

де t0 - небезпечні напруження;

n - коефіцієнт запасу міцності, залежить від матеріалу, умов експлуатації, призначення конструкції та інших факторів.

Небезпечні напруження при крученні визначається дослідним шляхом і є характеристикою матеріалу. Для пластичних матеріалів, як правило, воно відповідає границі текучості, для крихких - межі міцності.

При розрахунку на міцність по заданих навантаженнях і геометричних характеристиках вала по формулі (6.18) визначаються найбільші дотичні напруження і порівнюються з допустимими (6.19). При цьому найбільші дотичні напруження визначаються в небезпечному перерізі, в якому крутний момент найбільший по абсолютній величині. Для визначення небезпечного перерізу зручно будувати епюру крутних моментів.

При підборі поперечного перерізу по заданому навантаженню із умови міцності визначається необхідна величина полярного моменту опору:

Мкр - максимальне по абсолютній величині значення крутного

моменту.

Розрахунок вала на жорсткість полягає в тім, щоб у ньому не виникали деформації більше припустимих, котрі визначаються умовами експлуатації.

Умова жорсткості вала при крутінні має вигляд

Jmax (6.22)

де Jmax - найбільший відносний кут закручування, що визначається за формулою (6.14);

[j] - відносний кут закручування, що допускається (для різних елементів конструкцій [j] =(0.2-5)-10-4 радіан на 1 см довжини).

6.6. Приклади розрахунків

Приклад 1.

Знайти необхідну висоту h голівки гладкого болта, приведеного на рис. 6.9, що сприймає навантаження F=80 кН. Болт виконаний зі сталі: [о]=16 кН/см2, [t]=10 кН/см2.

Розв 'язання.

З умови міцності при розтягу (2.8) з урахуванням співвідношення (4.2) визначимо площу А перерізу болта:


Голівка болта піддається зрізу по поверхні циліндра, бічна повер­хня якого дорівнює pdh. З умови міцності для дотичних напружень (2.9) з урахуванням співвідно­шення (6.4) визначимо необхідну площу бічної поверхні болта:

Відповідь: висота головки болта h=1 см. Приклад 2.

Знайти діаметр заклепки d і ширину b полос, що з'єднуються, у заклепувальному з'єднанні (рис. 6.10). Навантаження F=200 кН. Заклепка і

полоса товщиною t=1 см виконані зі сталі, [о]=16 кН/см2, [т]=10 кН/см2. Розв 'язання.

Визначимо необхідний діаметр заклепки з умови міцності при зрізі (2.9) з урахуванням співвідношення (6.4). Для цього знайдемо необхідну площу зрізу заклепок:

А F 200 ^ 2 [t] 10


Т ак як площа перерізі однієї заклепки  , а число заклепок дорівнює

трьом, отримаємо:

Площа полос, що з'єднуються, у найбільш вузькому поперечному перерізі дорівнює:

A=t(b-d).

З умови міцності при розтязі (2.8) і співвідношення (4.2) визначимо необхідну площу перерізу смуг, що з'єднуються:

Звідси:

Відповідь: діаметр заклепки d=2.91 см, ширина смуг b=15.41 см. Приклад 3.

Визначити діаметр вала, що закручується моментом Мкр=40 кНм, якщо напруження, що допускаються, [т]=8 кН/см . Розв' язання.

За формулою (6.21) знайдемо необхідний момент опору вала при крученні:

Wp = -f-f =     = 500 см3,

р [t] 8

де множник 100 використовується для приведення моменту до кНсм. Знайдемо діаметр вала:

Відповідь: діаметр вала d=13.7 см. Приклад 4.

Вал, кільцевого поперечного перерізу, у якого ос = — =0.8,

d н

закручується моментом. Визначити економію у вазі в порівнянні із суцільним валом тієї ж міцності. Розв 'язання.

За формулою (6.21) і, використовуючи співвідношення, знайдемо необхідний діаметр круглого вала:

Аналогічно знайдемо необхідний зовнішній діаметр вала кільцевого перерізу:

Відповідь: вал кільцевого перерізу буде важити в 1.95 рази менше вала круглого перерізу з такою само міцністю. Приклад 5.

З умови міцності і жорсткості визначити діаметр суцільного вала круглого перерізу, наведеного на рис. 6.11,а.

Моменти, що передаються шківами: М1=40 кНм, М2=80 кНм, М3=180 кНм, М4=60 кНм. Допустимі дотичні напруження, [t]=12 кН/см ;

Кут закручування, що допускається, [jJ= 5 • 10-4 рад/ ; модуль пружності

см

при зсуві G=8 103 кН/см2. Розв 'язання.

Побудуємо епюру крутних моментів. Оскільки вал знаходиться в стані рівномірного обертання, то алгебраїчна сума всіх зовнішніх моментів, що скручують, прикладених до нього, дорівнює нулю:

^ М = М1 + М2 - М3 + М4 = 40 + 80 -180 + 60 = 0.

Крутній момент у перерізах дорівнює сумі моментів у відкинутій частині. Порахуємо ці моменти, що виникають у перерізах різних ділянок вала, як показано на схемі:

на ділянці ї1:  Мкр1=М1=40 кНм;

на ділянці ї2:  Мкр2=М1+М2=40+80=120 кНм;

на ділянці ї3:  Мкр3=М1+М2-М3=40+80-180= -60 кНм.

Епюра крутних моментів наведена на рис. 6.11,б.

З умови жорсткості вала при крученні за формулою (6.22), знайдемо необхідний діаметр круглого вала:

d=4

32Мк G[jJp

4

32 • 120•100

8000 • 5 • 10-4 • 3.14

=13.2 см

З двох знайдених значень діаметрів необхідно прийняти більший. Ним буде діаметр, знайдений з умови міцності. Відповідь: діаметр вала d=17.2 см.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я