5.5. Приклади розрахунків

Приклад 1.

Побудувати епюру внутрішніх зусиль для балки, приведеної на рис. 5.13,а і визначити максимальні значення внутрішніх зусиль, що діють у балці, якщо F=40 кН.

Розв 'язання.

Розрахунок починаємо з визначення опорних реакцій RA і ЯВ балки, яка є однопрогінною балкою. В даному випадку використаємо рівняння моментів сил відносно точок А і В балки [9]:

вірно. Перед побудовою епюр внутрішніх зусиль балку розіб'ємо на ділянки. Межами ділянок повинні бути: точки прикладання зосереджених сил і моментів, а також початок і кінець розподілених наван­тажень. У нашому прикладі на балці таких ділянок - дві.

Рис. 5.1З

Правила знаків для визначення внутрішніх зусиль наведено на рис. 5.4.

Спочатку побудуємо епюру поперечних сил, які дорівнюють алгебраїчній сумі проекцій лівих (правих) сил на нормаль до осі балки. Для цієї балки потрібно перерізі проводити двічі, на кожній ділянці окремо.

Потім розглядати ту частину умовно розрізаної балки, на котрій діє менше зовнішніх сил.

Для перерізів з координатами x1 і x2 отримаємо:

За одержаними значеннями на рис. 5.13,б побудовано епюру поперечної сили Q.

Побудуємо далі епюру згинальних моментів. При побудові епюрі врахуємо що на кожній ділянці згинальний момент дорівнює алгебраїчній сумі моментів лівих (правих) сил відносно центру ваги перерізу.

Для прийнятих перерізів балки буде:

при 0<х1<4м M(x1)=RB-x1=15x1;

M(x1=0)=0; M(x1=4)=15-4=60 кНм; при 0^^^ M(x2)=RAx2=25x2;

M(x2=0)=0; M(x2=2.4)=25-2.4=60 кНм.

На кожний з ділянок залежності M(x1) і M(x2) є лінійними. Тому з'єднуємо отримані точки прямими та будуємо епюру. Її наведено на рис. 5.13,в.

Відповідь: максимальні значення поперечної сили і згинального моменту: Qmax=25 кН, Mmax=60 кНм.

Приклад 2.

Підібрати двотавровий переріз сталевої балки, приведеної на рис. 5.14,а з умови міцності. Допустимі напруження вважати рівними [о] = 16 кН/см2, а зовнішні сили F1=15 кН, F2=25 кН.

Розв 'язання.

Для побудови епюр поперечної сили Q і згинального моменту M визначимо реакції опор в точках В і С балки, яка є однопрогінною з двома консолями.

 

 

 


б)

в)

При визначенні опорних реакцій використовуємо рівняння моментів сил відносно точок В і С:

Для перевірки складемо рівняння сил в напрямку осі y:

З останньої тотожності випливає, що опорні реакції визначено правильно. Перед побудовою епюр внутрішніх зусиль балку поділяємо на ділянки. У нашому прикладі на балці таких ділянок чотири. Спочатку побудуємо епюру поперечних сил. Для побудови епюри виконаємо чотири перерізи балки з координатами x1, x2, x3, x4:

для 0<x1<0.8м Q(x1)= -F1= -15 кН;

для      Q(x2)= -F1+Rb= -15+21.07=6.07 кН;

для      Q(x3)= -F1+Rb - qx3= -15+21.07 - 20x3=6.07 - 20x3,

Q(x3=0)=6.07 кН,  Q(x3=3)=6.07-20 3=53.93 кН; для 0<x4<1.6м Q(x4)=F2+qx4=25+20x4=25+20x4,

Q(x4=0)=25 кН,         Q(x4=1.6)=25+20*1.6=57 кН.

За одержаними даними будуємо епюру Q (рис. 5.14, б). Далі будуємо епюру згинальних моментів. Для наведених перерізів буде:

для 0<x1<0.8м М^)= -F1x1=-15x1 (залежність лінійна),

для 0<x2<3м

M(x1=0)=0,     M(x1=0.8)= -15-0.8= -12 кНм;

M(x2)= -F1(x2+0.8)+Rbx2= -15(x2+0.8)+21.07x2= =6.07x2-12 (залежність лінійна), M(x2=0)= -12кНм,  М^2=3)=6.07 -3-12=6.21 кНм;

для      М^)= -F1(x3+3 .8)+Rb(3+x3) -q

-25x4 -10 x2 (залежність квадратична), М^^))^, М(x4=1.6)= -25-1.6-10-1.62= -65,6 кНм

Щоб побудувати епюру M(x3) на ділянці з розподіленим навантаженням, потрібно побудувати криву - другого порядку параболу. Для цього необхідно не менше трьох точок для M(x3). Дві з їх вже визначено: M(x3=0)=6.21 кНм і М^3=3)= -65.58 кНм. Третє значення М визначимо для перерізу з координатою x*3 , в якому поперечна сила дорівнює нулю:

Q(x3)=6.07-20x3=0.

Звідси: x*3=6.07/20=0.3 м.

Тоді:

М(x3=0.3)=6.21+6.07-0.3-10-0.32=7.13 кНм.

На ділянці 0<х3<3м друга похідна d М-/ 2 =-20, тобто від'ємна,

тому в перерізі х3 маємо найменше значення згинального моменту на ділянці.

Для четвертої ділянки епюра М(х4) також криволінійна. Тому на цій ділянці знову визначимо значення моменту М(х4) у трьох точках. Поперечна сила на ділянці не має значення Q=0, тому третю точку визвемо довільно, наприклад х4=1:

М(х4=1) = -25 1-10 12= -35 кНм.

Епюра М наведена на рис. 5.14, в.

Підберемо тепер переріз балки. Найбільший згинальний момент (за модулем), що виникає в балці, дорівнює Мтах=65.6 кНм=6560 кНсм. З умови міцності при згині (5.10):

W > M^ = 6560 = 410 см3.

За сортаментом ДСТУ 8239-89 (див. додаток) приймаємо двотавр №30, для якого момент опору згину W=472 см .

Відповідь: Умові міцності відповідає сталева балка, що виготовлена з двотавру №30.

Приклад 3.

Схема навантаження і розмири балки наведено рис. 5.15, а. Необхідно

підібрати поперечний переріз двотаврової сталевої балки при [о] = 16^кН2,

см

а також балки з деревини прямокутного та круглого перерізу при

[s] = 1Щ.

см

Розв 'язання.

Визначимо опорні реакції балки в точках А і В:


Для перевірки складемо рівняння ^ Fy = 0,

Для визначення внутрішніх силових факторів Q і М розбиваємо

балку на три ділянки з координатами х1, х2, х3 і розглядаємо перерізи 1-1, 2-2, 3-3 на них. Відкидаємо праві частини балки для перерізів 1-1 і 2-2 (ліву - для переріза 3-3) і розглядаємо рівновагу лівої (правої) частини цих балок.

Переріз 1-1, 0<x1<3,0 м.

Розглядаючи рівновагу лівої частини балки одержимо:

Q(x1) = -F = -20 кН.

Із одержаного розв'язку можна зробити висновок, що поперечна сила на цій ділянці є постійною, тому її графічне зображення буде прямою лінією, паралельною осі х. Будуємо епюру Q(x1).

Згинальні моменти на ділянці одержимо, взявши суму моментів лівих сил відносно перерізу 1-1:

M(x1 ) = -F ■ x1 (залежність лінійна).

Відповідну епюру одержимо за значеннями моментів у двох точках: при x1 = 0  M(x1 = 0) = 0;

при x1 = 3,0 м M(x1 = 3.0) = -20 ■ 3.0 = -60 кНм Будуємо епюру M(x1). Переріз 2-2 3,0 м<х2<8,0 м.

Поперечна сила на цій ділянці описується рівнянням Q(x2) = -F + Ra - q(x2 -3,0) і змінюється за лінійним законом: при x2 = 3,0 м Q(x2) = -F + RA =-20 + 76 = 56 кН;

при x2 = 8,0 м Q(x2) = -F + RA - q ■ 5,0 = -20 + 76 - 20 ■ 5,0 = -44 кН. Будуємо епюру Q(x2).

Згинальний момент на ділянці визначається виразом:

Максимальний згинаючий момент знаходиться в перерізі, де поперечна сила Q(x2). Виходячи з цього, одержуємо

Q(x2) = -F + RA - q(x2 - 3,0) = -20 + 67 - 20(x2 - 3,0)= 0, x2 = 5,8 м.

тому

M(x2 = 5.8) = -F ■ x2 + Ra(x2 - 3,0)- qlb—30!- =

Будуємо епюру M(x2) по трьох точках.

Переріз 3-3, 0<x3<1.0 м.
поперечна сила         Q(x3) = 0;

згинальний момент  M(x3) = -M = -30 кНм

Будуємо епюри Q(x3) і M(x3).

Поперечні перерізи балки підбираємо за максимальним по модулю значенням згинального моменту, яке дорівнює 60 кНм. Для стальної балки:

За сортаментом ДСТУ 8239-89 (див. додаток) вибираємо двотавр № 27а, для якого W =407 см .

Для дерев'яної балки прямокутного профілю при h = 2b :

w >  = 6000 = 6 _ 10з см 3^

[a] 1

Момент опору прямокутного перерізу

Отже одержимо

Для дерев'яної балки круглого перерізу:

Відповідь: Умовам міцності відповідають для сталевої балки двотавр № 27а; для балки з деревини: прямокутний переріз з h=41,6 см, b=20,8 см; круглий переріз d=39,4 см.

Приклад 4.

Для рами. показаної на рис. 5.16, визначити опорні реакції, побудувати епюри поперечних і поздовжніх сил і згинаючих моментів. Розв 'язання.

Визначаємо опорні реакції, користуючись рівняннями статичної рівноваги:

Одержані величини опорних реакцій мають додатні значення, тобто їх напрями співпадають з прийнятими.

Перевірка:

Sy = 0;  - RA + RB =-50 + 50 = 0. 0=0 Опорні реакції знайдені правильно.

Для визначення Q, N і М користуємось методом перерізів.

Розбиваємо раму на чотири ділянки і розглядаємо перерізи 1-1, 2-2, 3-3, 4-4 на них. Якщо на кожній з ділянок відкинути одну з частин рами, то рівновага частини, що залишиться, буде забезпечуватися відповідними поперечними і поздовжніми силами, згинаючими моментами.

Для усіх перерізів поперечну силу Q знаходимо з рівняння проекцій

сил на осі. перпендикулярні до відповідних стояків і ригелей, поздовжню силу N - з рівняння проекцій сил на осі, паралельні відповідним стоякам і ригелям, а згинальний момент М - з рівняння суми моментів від усіх сил, що діють на залишену частину, відносно центра ваги відповідних перерізів.

Переріз 1-1 (ділянка І), 0 < z1 < 2,0 м,

На цій ділянці поперечна сила змінюється за лінійним законом,
поздовжня сила має постійне значення і розтягує стержень, а згинаючий
момент змінюється за законом квадратної параболи.


Переріз 2-2 (ділянки 2), 0 < z2 < 3,0 м,

На цій ділянці поперечна сила має постійне значення; поздовжня сила - також, а згинальний момент змінюється за лінійним законом. При z2 = 0:  Q2 =-RA =-50 кн.,  N2 =-q ■ 2,0 = -20 ■ 2,0 = -40 кН,

Переріз 3-3,(ділянка 3) 0 < z3 < 2,0 м,

Q3 = Hb ; N3 =-Rb; M3 =-Hb ■ z3. Поперечна і поздовжня сили на цій ділянці мають постійне значення; згинаючий момент змінюється за лінійним законом. При z3 = 0  Q3 = HB = 30 кН, N3

Q4 = Hb + F,  N4 =-Rb , M4 =-Hb ■ z4 -F\z4 -2). На цій ділянці поперечна і поздовжня сили мають постійне значення; згинаючий момент змінюється за лінійним законом: При z4 = 2,0 м Q4 = HB + F = 30 +10 = 40кН,  N4 =-RB =-50 кН,

M4 = -HB 2,0 = -30 2,0 = -60 кН м. При z4 =4,0 м Q4 = HB + F =30 +10 =40кН,  N4 = -RB = -50 кН, M4 = -HB 4,0 - F 2,0 = -30 4,0 -10 2,0 = -140 кНм;

За результатами обчислень будуємо епюри Q, N і М. приймаючи до уваги знаки знайдених величин.

При побудові епюр Q , N додатний напрям осі ординат обираємо вверх (тобто назовні контуру рами), при побудові епюри М - вниз, бо ця епюра будується на розтягнутих волокнах.

Як видно з прикладу, розрахунок рами пов'язаний з великими обчисленнями, що може привести до хибних результатів. Тому знайдені значення Q , N і М слід перевірити з використанням рівнянь, які не використовувались вище.

Перевірку правильності знайдених значень Q, N і М проводять за

умови рівноваги усіх вузлів рами. Для цього треба вирізати вузли С і D,

прикласти в перерізах вузлів зусилля Q, N і М з напрямами, що

відповідають правилу знаків (рис.5.4).


Вузол С. Відзнакою цього вузла є наявність у ньому зовнішнього моменту М = 50 кНм. Прикладаємо його до вузла. Складаємо три умови рівноваги (рис. 5.17,а).

SMC = M1 + M2 - M = 40 +10 - 50 = 0; Sz = Q1 - N2 = 40 - 40 = 0; Sy = - N1 + Q2 =-50 + 50 = 0.

Всі рівняння задовольняють вимогам рівноваги, тобто вузол С

знаходиться в рівновазі.

Вузол D. Рівняння рівноваги для цього вузла (рис. 5.17,б):

SMD = M2 - M4 = 140 -140 = 0; Sz = N2 - Q4 = 40 - 40 = 0; Sy = -Q2 + N4 =-50 + 50 = 0.

Вузол D також знаходиться в рівновазі.

Можна зробити висновок, що зусилля Q, N і М визначені правильно.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я