5.2. Напруження і деформації при згині

Розглянемо нормальні напруження, що виникають при чистому плоскому згині в поперечному перерізі балки. З усіх внутрішніх зусиль, що можуть виникати в перерізах, ненульовим буде тільки згинальний момент, щодо осі, перпендикулярної осі балки. Цей момент буде зв'язаний з нормальними напруженнями співвідношенням (5.1).

Розглянемо, як деформується балка в умовах чистого згину. Досвіди дослідження деформацій при згині балок, показують, що:

подовжні лінії викривляються по дузі кола;

поперечні лінії залишаються прямими і при цьому не змінюють свою довжину;

контури поперечних перерізів балки залишаються плоскими;

лінії контурів перерізів скрізь перетинаються під прямим кутом.

На підставі цих спостережень, можна зробити висновок, що при чистому згині поперечні перерізі балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (рис.5.7). Таким чином, при згині, як і при розтязі-стиску, справедлива гіпотеза плоских перерізів, що має назву „гіпотези Бернуллі".

Дослідження деформування балок в умовах згину показує, що при навантаженні балки від'ємним згинальними моментами верхні волокна балки подовжуються, нижні - коротшають, додатнім - навпаки. При цьому можна знайти волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність таких волокон утворить деякий шар, що називається нейтральним. Кожен поперечний переріз перетинається з нейтральним шаром по прямій, що називається нейтральною лінією перерізу.

При плоскому згині нейтральний шар виявляється перпендикулярним до силової площини, отже, нейтральна лінія перпендикулярна до силової лінії у перерізі, при цьому вона перетинає центр ваги перерізу. Таким чином, нейтральна лінія збігається з головною центральною віссю перерізу і називається нейтральною віссю.

Використовуємо гіпотезу плоских перерізів для визначення нормальних напружень при чистому згині (рис.5.8). Для цього виділимо

елемент, обмежений двома поперечними перерізами, на відстані dx (рис. 5.9,а). Торцеві перерізі при деформуванні залишаться плоскими і при цьому повернуться на деякий кут dcp (рис. 5.9,б).

Прямолінійний відрізок нейтрального шару А0В0 перетворюється в дугу АіВі з радіусом р, при цьому він не змінить своєї довжини. Волокно АВ, що знаходиться на відстані у від нейтрального шару перейде в дугу А2В2 радіуса р+у, при цьому він змінить свою довжину. Відносне подовження цього волокна буде

АВ

З урахуванням того, що

і скоротивши на dcp, одержуємо вираз для знаходження відносної деформації волокна на відстані у від нейтрального шару:

e = у.

р

Тепер розглянемо, в якому напруженому стані знаходиться досліджуване волокно АВ. У поперечних перерізах немає дотичних напружень, тому що при чистому згині відсутня поперечна сила. З урахуванням парності дотичних напружень їх немає й у перерізах, рівнобіжних осі балки. Нормальні напруження в перерізах, рівнобіжних осі балки, так само дорівнюють нулю, тому що, відповідно до гіпотези плоских перерізів, лінійні деформації у перпендикулярному осі напрямку відсутні. Таким чином, волокно АВ знаходиться в лінійному напруженому стані (розтяг-стиск). У цьому випадку напруження і відносні деформації зв'язані між собою за законом Гука (3.9): о = єЕ. У результаті чого,

замінивши в цьому співвідношенні відносну деформацію, відповідно до отриманої залежності, маємо:


р

а) б)

Рис. 5.9

Підставляючи отриману залежність (5.7) у друге рівняння співвідношення (5.і) і з огляду на те, що модуль пружності й кривина нейтральної осі постійні в розглянутому перерізі і їх можна винести за знак інтеграла, одержуємо:

Е f у2dA = М. р А

Так як відповідно до виразу (4.9) інтеграл f у 2dA являє собою момент

А

інерції перерізу щодо нейтральної осі (осі z) попереднє співвідношення можна представити у вигляді:

Отриманий вираз зв'язує між собою кривину осі балки і згинальний момент, що діє в перерізг Аналізуючи (5^8), можна зробити висновок, якщо балка виготовлена з однорідного матеріалу, і має постійний поперечний переріз, то при чистому згині вісь її викривляється по дузі кола^ При цьому кривина і згинальний момент прямо пропорційні, а величина EIz називається жорсткістю при згині

Ця формула дозволяє знаходити нормальні напруження при чистому згині в будь-якій точці перерізу ■ У випадку прямого згину, коли деформування відбувається у площині головних центральних осей, індекс z в осьовому моменті інерції перерізу часто опускають ■

Отримане співвідношення між нормальними напруженнями і згинальними моментами дозволяє зробити висновок, що яку б форму і розміри не мав поперечний переріз, напруження в точках, що знаходяться на нейтральній осі (у=0), дорівнюють нулюк Величина нормального напруження лінійно зростає в міру віддалення від нейтральної осі При цьому напруження не змінюються по ширині перерізу ■ Отже, максимальна і мінімальна величина нормальних напружень для будь-яких перерізів, що мають горизонтальну вісь симетрії, буде збігатися з точністю до знака^

У розрахунках на міцність мають значення найбільші за абсолютною величиною значення напружень, які виникають у волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі:

Де Ушах " відстань від нейтральної осі до найбільш віддалених точок перерізу.

З урахуванням (2.8), одержуємо умову міцності при чистому згині:

[о]

де [о] - допустимі напруження;

Wz - осьовий момент опору при згині щодо головної центральної осі -нейтральної осі при згині, який визначається відносно головних центральних осей і дорівнює відношенню осьового моменту інерції до відстані від цієї осі до максимально віддаленої від точки перерізу:

Wz =

У шах

У випадку прямого згину індекс z в моменті опору перерізу часто опускають.

З урахуванням цього умову міцності для балки при згині можна записати у вигляді

M

W ^-г^, (5.10) [о]

де Мшах - максимальний згинальний момент, що виникає в балці під дією зовнішніх навантажень.

Усі формули для визначення відносних деформацій і нормальних напружень, наведені вище (5.7)-(5.10) отримані для чистого прямого згину балок. Практика показує, що при поперечному згині балок, коли в перерізі крім згинаючого моменту діє ще і поперечна сила, можна користатися формулами, отриманими для чистого згину. При цьому погрішність виявляється несуттєвою. Крім того, напруження, що обумовлені наявністю поперечної сили, можна досліджувати окремо.

При поперечному згині, крім нормальних напружень у поперечних перерізах балки виникають також і дотичні напруження. Якщо поперечний згин є прямим, то згинальний момент діє в площині, що збігається з однієї з головних площин балки. Поперечна сила при цьому, як правило, рівнобіжна площині дії згинаючого моменту, і проходить через центр ваги цього перерізу.

Поперечна сила зв'язана з дотичними напруженнями, що виникають у цьому перерізі, і визначається співвідношенням (1.4). У цьому випадку, дотичні напруження в поперечному перерізі балки при прямому згині (коли вважати, що всі зовнішні навантаження рівнобіжні осі у) мають один напрямок з поперечною силою і їх прийнято позначати без індексу, що позначає напрямок. Передбачається, що дотичні напруження по всій ширині перерізу в горизонтальному напрямку, рівнобіжному осі z, однакові, а їхня величина змінюється тільки за висотою перерізу і дорівнює, згідно с формулою Журавського [2, 6]:

де Q - поперечна сила, що виникає в розглянутому поперечному перерізі балки;

S* - статичний момент щодо нейтральної осі частини перерізу, розташованого вище або нижче лінії, що проходить через точку, у якій визначаються дотичні напруження;

I - момент інерції всього поперечного перерізу щодо нейтральної осі;

b - ширина поперечного перерізу на тому рівні, де визначаються напруження.

Приведена формула Журавського (5.11), отримана їм у припущенні,

що переріз являє собою вузький прямокутник (при — > 2, де h - висота

прямокутника, a b - його ширина), однак, як показує практика, її можна використовувати для будь-яких перерізів, крім тих місць у перерізі, де є вузькі прямокутники, розташовані перпендикулярно напрямку дії поперечної сили. Знак дотичних напружень у перерізі збігається зі знаком поперечної сили.

Максимальні дотичні напруження відповідно до отриманого співвідношення (5.11) будуть у точках, розташованих на нейтральній осі балки. Це твердження справедливе для всіх поперечних перерізів, крім, тих, в яких у районі нейтральної осі спостерігається різке збільшення ширини. Таким чином вираз для максимальних дотичних напружень має вигляд:

З урахуванням (2.9), одержуємо умову міцності при прямому поперечному згині балок по дотичних напруженнях для балки, в якій виникає поперечна сила Q:

 [t] - допустимі дотичні напруження; Qmax - максимальне значення поперечної сили, що діє в поперечних перерізах балки.

Формули для визначення дотичних напружень і підбору перерізу (5.11) і (5.12) отримані для прямого поперечного згину балок.

У точках поперечного перерізу балки, найбільш віддалених від нейтральної осі, дотичні напруження дорівнюють нулю. У цих точках відповідно нормальні напруження досягають максимального значення (5.9). А в точках, де нормальні напруження дорівнюють нулю (5.9),

відповідно дотичні напруження досягають максимальної величини (5.11). Отже, перевірка на міцність по нормальних і дотичних напруженнях при згині балок варто проводити окремо. При цьому в переважній більшості задач нормальні напруження істотно вище дотичних, тому основною формулою для розрахунків балок на міцність буде співвідношення (5.10).

Розподіл напружень, виникаючих у перерізах балки розглянемо на прикладах.

Прямокутний переріз. В перерізі діють згинальний момент М і поперечна сила Q, спрямовані, як показано на рис. 5.10. Поперечна сила Q,

 

ширина перерізу b=by та осьовий момент інерції I

конкретні

постійні величини (рис. 5.10).

Нормальні напруження згідно з (5.9) змінюються за лінійним законом, максимальні значення їх будуть у точках перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі:

Дотичні напруження змінюються за таким же законом, що і статичний момент відсіченої частини площі.

Визначаємо дотичні напруження на рівні у. Площа відсіченої

частини перерізу: A*

Таким чином, дотичні напруження змінюються за законом квадратної параболи. Максимальні дотичні напруження виникають на нейтральній лінії, де нормальні напруження дорівнюють нулю. Для визначення Tmax необхідно обчислити статичний момент половини площі перерізу, тоді:

. QSimax = Qbl/8 = iQ = 3Q

Двотавровий переріз. У перерізі діють згинальний момент М і поперечна сила Q, спрямовані, як показано на рис. 5.11.

Нормальні напруження згідно з (5.9) змінюються за лінійним законом, максимальні значення їх будуть у точках перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі:

max  і  W.

Дотичні напруження, використовуючи формулу Журавського визначимо в характерних точках.


max bl  bbh2/ 2bh 2A. b /12


Точка 1. т1=0, так як S* = 0 (вище рівня 1 відсічена площа відсутня).

Точки 2 і 3. Ці точки мають однакову координату у, але належать полці й стінці одночасно, тобто різній ширині b2=b, b3=d. Тому в місці переходу полки в стінку виникає скачок дотичних напружень.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я