5.1. Внутрішні зусилля при згині

Зовнішні навантаження, що діють на елементи конструкції, викликають появу в ньому внутрішніх зусиль. При дії на брус зовнішніх навантажень, розташованих в одній площині (наприклад, ху, якщо вісь х збігається з віссю бруса), що проходить через вісь бруса, у кожнім поперечному перерізі виникають внутрішні зусилля, що діють у тій же площині: подовжня сила, поперечна сила і згинальний момент.

Коли в перерізі виникає подовжня сила, тоді необхідно окремо розглядати дві задачі: розтяг-стиск і згин бруса, а потім одержати суперпозицію двох рішень. У такий само спосіб необхідно розглядати розв'язання двох окремих задач і у випадку, коли зовнішні сили діють у площині, що не містить у собі головні осі.

Надалі ми будемо розглядати задачу прямого згину. У цьому випадку в площині перерізу балки будуть наступні внутрішні зусилля: поперечна сила, що діє в площині перерізу (Q=Qy) і проходить через його центр ваги і згинальний момент, перпендикулярний до поперечного переріза M=Mz, де z - вісь, щодо якої діє момент.

Згинальний момент М в поперечному перерізі бруса (рис. 5.2) вважається додатним, якщо на лівому торці правої частини балки він спрямований по годинникової стрілці, а на правому торці лівої частини ­

проти годинникової стрілки (або можна казати, що додатний момент є такий, котрий згинає балку нагору), як показано на рис. 5.2. При додатному згинальному моменті верхні волокна будуть стискуватися, нижні - розтягуватися.

При від'ємному згинальному моменті верхні волокна розтягуються, нижні - стискаються.

Поперечна сила Q позитивна, коли на правому торці лівої частини бруса вона спрямована зверху вниз, на лівому торці правої частини - знизу догори, як показано на рисунку.

Додатна поперечна сила прагне завжди обертати відсічену частину балки проти годинникової стрілки відносно центру ваги перерізу.

Згинальний момент і поперечна сила, що діють у перерізі, зв'язані з напруженнями, що виникають у ньому (1.4):

Для того щоб визначити проекції на будь-яку вісь внутрішніх силових факторів у перерізі, необхідно, як показано в п. 1.2, скористатися методом перерізів.

Проаналізуємо внутрішні силові фактори в поперечному перерізі балки при прямому поперечному згині, сформулюємо основні правила визначення сил і моментів при згині.

Розглянемо консольний брус із затисненим правим торцем та навантажений силами F1 і F2 (рис. 5.3). Нехай F1>F2.


Згідно з методом виберемо переріз на першій і другій ділянках, покажемо відсічені частини, замінимо дію відкинутих частин на залишену внутрішніми силовими факторами Qy і Мх. З умов статики (суми проекцій сил на вісь у і суми моментів щодо осі х, що проходить через центр ваги розглянутого перерізу) визначимо їхні значення: 1-а ділянка.

З цього методу випливає, що для визначення внутрішніх зусиль у перерізі, необхідно просумувати усі зовнішні сили та моменти, що діють на одну з частин, розташованих праворуч чи ліворуч від перерізу.

Використовуючи такі уявлення, сформулюємо наступні правила для визначення поперечної сили й згинального моменту при згині.

Поперечна сила Q = Qy(x) за величиною і знаком дорівнює сумі

проекцій усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, на головну центральну вісь у площині згину, проведену в розглянутому перерізі, чи сумі проекцій на ту ж вісь, взяту зі зворотним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки. При цьому проекції вважаються позитивними, якщо сили спрямовані по осі (догори):

Q = X Fy =- X Fy. (5.2)

лев прав

Правило знаків. Поперечна сила вважається додатною, якщо обертає розглянуту відсічену частину балки щодо центра ваги перерізу за годинниковою стрілкою, і від'ємною - якщо проти годинникової стрілки

(рис. 5.4).

Згинальний момент M = Mz (x) щодо головної центральної осі z

поперечного перерізу за величиною і знаком дорівнює сумі моментів щодо цієї осі від усіх зовнішніх навантажень, прикладених до лівої частини балки, чи сумі моментів щодо тієї ж осі, взятої зі зворотним знаком, усіх моментів від зовнішніх навантажень, прикладених до правої частини. Моменти від зовнішніх навантажень додатними, якщо вони діють проти годинникової стрілці:

m=-X м z = X м

(5.3)

лев прав


Правило знаків. Згинальний момент вважається додатним, якщо відсічена частина згинається опуклістю вниз (стиснуте волокно вгорі, розтягнуте внизу), та від'ємним - якщо навпаки. Таким чином, епюра згинальних моментів будується з боку розтягнутого волокна (рис.5.4).

При визначенні внутрішніх зусиль моменти і проекції сил необхідно визначати від усіх зовнішніх сил, прикладених до балки по одну сторону від розглянутого поперечного переріза. У число цих сил треба включати і реакції опор, що виникають у закріплених точках перерізів. Ці реакції знаходяться з рівнянь рівноваги всієї балки з урахуванням усіх діючих на

неї навантажень.

Балки, в яких загальне число реакцій більше числа рівнянь рівноваги, називаються статично невизначеними. Для таких балок реакції опор визначаються зі спільного розв'язання рівнянь рівноваги і рівнянь спільності деформацій, що описують умови деформування балок.

Величина внутрішніх зусиль у перерізах залежить від того, які і яким чином, прикладені навантаження, що діють на балку.

Для того щоб визначити ці залежності між зовнішніми навантаженнями і внутрішніми зусиллями, розглянемо балку, що знаходиться під дією деякої системи сил.


Вимелемо елементарну ділянку балки довжиною dx (рис. 5.6), на яку діє тільки розподілене навантаження інтенсивністю q, що діє перпендикулярно до осі балки, й внутрішні зусилля. Розглянемо її рівновагу, на лівий торець цього елемента діють деякі внутрішні зусилля М і Q, на правий М+dM і Q+dQ, де dM і dQ - збільшення величин внутрішніх силових факторів на ділянці dx.

Таким чином, похідна від поперечної сили по довжині дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження.

Тепер складемо рівняння рівноваги елемента щодо центра ваги перерізу (точка С) правого торця елемента:

Так як додаток qdxdx має другий порядок мализни, на відміну від

інших додатків, що мають перший порядок мализни, ним можна знехтувати:

Таким чином, похідна від згинаючого моменту за довжиною дорівнює поперечній силі.

Підставляючи вираз (5.5) у залежність (5.4) одержуємо зв'язок другої похідної від згинального моменту за довжиною і інтенсивності розподіленого навантаження:

Співвідношення (5.4)-(5.6), справедливі в тому випадку, якщо вісь абсцис спрямована в праву сторону.

При розрахунках балок на згин необхідно знати розподіл внутрішніх зусиль у поперечних перерізах по її довжині. Цей розподіл прийнятий показувати у виді епюр. Епюри при згині будуються за загальними правилами аналогічно епюрам подовжньої сили при розтягу-стиску. Кожна ордината епюри М чи Q являє собою величину згинаючого моменту чи поперечної сили у відповідному перерізі балки. При побудові епюри сил прийнято додатні значення сили відкладати догори від осі епюри, а від'ємні - відповідно донизу. При побудові епюри згинальних моментів, навпаки - додатні значення відкладаються вниз, від'ємні - нагору.

Вид епюр поперечної сили і згинаючого моменту залежить від виду зовнішнього навантаження. Аналізуючи залежності (5.2)-(5.6) можна зробити наступні висновки, які можна використовувати при побудові й перевірці епюр:

У перерізі, до якого до балки прикладена зосереджена сила, значення поперечної сили Q зміниться стрибкоподібно на величину прикладеної сили. Коли зосереджена сила спрямована нагору, на епюрі Q є скачок догори, а коли сила спрямована вниз - скачок униз.

Якщо до балки прикладений зосереджений момент, значення згинаючого моменту М зміниться стрибкоподібно на величину прикладеного моменту. Коли зосереджений момент спрямований

проти годинникової стрілки, на епюрі М мається скачок догори, а коли момент спрямований за годинникової стрілки - скачок униз.

Тангенс кута між дотичною до лінії, що обмежує епюру моментів М і віссю епюри, дорівнює поперечній силі Q.

На ділянках балки, на яких поперечна сила додатна, згинальний момент зростає, а де вона від'ємна - убуває.

Чим більше по абсолютній величині значення поперечної сили, тим крутіше лінія, що обмежує епюру згинальних моментів.

На ділянці балки, де поперечна сила має постійне значення, епюра моментів обмежена прямою лінією.

Якщо в деякому перерізі балки епюра поперечної сили не має стрибка, то лінії, що обмежують епюру моментів із двох сторін, сполучаються без перелому, тобто мають у точці сполучення загальну дотичну.

Якщо в деякому перерізі балки епюра поперечної сили має стрибок, то лінії, що обмежують епюру моментів із двох сторін мають точку перелому, тобто не мають у точці сполучення загальної дотичної.

На ділянках, де діє зовнішнє розподілене навантаження, згинальний момент досягає максимуму чи мінімуму в перерізах балки, де поперечна сила дорівнює нулю (дотична до лінії, що обмежує епюру моменту, при цьому в розглянутому перерізі буде рівнобіжна осі епюри).

На ділянках, де діє розподілене навантаження, поперечні сили змінюються за довжиною балки по прямій, а епюри моментів обмежені кривою лінією.

На ділянках, де розподілене навантаження відсутнє, поперечні сили постійні, а епюри моментів змінюються за лінійним законом.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я