4.3. Моменти інерції перерізу

Осьовим, чи екваторіальним моментом інерції перерізу відносно деякої осі називають взяту по всій його площі суму добутків елементарних площадок на квадрат відстані від цієї осі. Так, моменти інерції довільної фігури щодо осей 2у (рис. 4.1):

Iz = j y2dA;

А 2 (4.9)

А

де y і z - відстані до осей z і y відповідно.

Осьовий момент інерції складного перерізу щодо будь-якої осі дорівнює сумі відповідних моментів інерції всіх частин цього перерізу відносно цієї осі.

Полярним моментом інерції перерізу відносно деякої точки (як правило, начало координат - перетинання осей y і z) називають узяту по всій його площі суму добутків елементарних площадок на квадрат відстані від цієї точки:

IP= J P2dA,

A

(4.10)

де p - відстані до відповідної точки (рис. 4.1).

Порівнюючи співвідношення (4.9) і (4.10) можна установити, що сума осьових моментів інерції будь-якого перерізу щодо двох перпендикулярних осей дорівнює полярному моменту інерції щодо точки їхнього перетинання.

Дійсно, відстань від будь-якої крапки перерізу до початку координат можна визначити як:

p2 = у2 + z2.

Отже

Ip = J p 2dA = J (x2 + y2)dA = J x2dA + J y2dA

A         A         A A

або

Ip= Iy + Iz. (4.11)

Співвідношення (4.11) справедливе для будь-яких двох взаємно перпендикулярних осей, отже при всіх можливих поворотах осей відносно началу координат, сума осьових моментів інерції залишається величиною постійною і дорівнює полярному моменту інерції.

Відцентровим моментом інерції перерізу щодо двох взаємно перпендикулярних осей називають взяту по всій його площі суму добутків елементарних площадок на відстані до цих осей. Так, у площині уz:

Iyz = J zydA, (4.12)

A

де y і z - відстані до осей z і y відповідно.

У залежності від положення осей відцентровий момент інерції може бути додатним, від'ємним, або дорівнювати нулю. Осі, відносно яких

відцентровий момент інерції дорівнює нулю, називаються головними осями інерції. Головні осі, що проходять через центр ваги, називають головними центральними осями. Якщо хоча б одна з осей є віссю симетрії перерізу, то ці осі є головними.

При визначенні моментів інерції фігур, що мають просту геометричну форму, можна користатися методом безпосереднього інтегрування виразів

(4.9)     , (4.10) і (4.12).

Осі, що проходять через центр ваги перерізу, називаються центральними осями, а моменти інерції відносно цих осей називаються центральними моментами інерції. Розглянемо взаємозв'язок моментів інерції перерізу відносно центральних осей, і деяких інших, рівнобіжних їм.

Допустимо, що для якого-небудь перерізу осі у, z є центральний, відносно якої момент інерції I Iz відомі. Потрібно визначити момент

інерції перерізу відносно осей у1, z 1, рівнобіжних центральним, віддалених на відстані а та b (рис. 4.2). За визначенням, моменти інерції, щодо обох осей, знаходять в такий спосіб:

Iy = j z2dA; Iyi = j z2dA, (4.13)

A A

Відстань від усіх елементарних площадок до осей у1, z1 буде: у1=у+а, z1=z+b (рис.4.2). Із співвідношень (4.13) одержимо:

Iz1 = j (y + a)2dA = j y2dA + 2a j ydA + a2 j dA.

A AAA

Перший додаток цього виразу є центральним моментом інерції Iz.

Другий додаток дорівнює нулю, тому що інтеграл, який у нього входить, є статичним моментом перерізу відносно осі, що проходить через центр ваги

(4.10)   . Третій додаток дорівнює добутку квадрата відстані між осями і
площі перетину. Отже, можна записати:

Iz, = Iz + a2 А. (4.14)

Аналогічно для іншої осі:

ІУі = Iy + b2 А,          (4.15)

Таким саме способом можна одержати      співвідношення для
відцентрового моменту інерції:


Iyizi = Iyz + аЬА.       (4.16)

Розглянемо зміни моментів інерції при повороті осей (рис. 4.3). Нехай відомі осьові й відцентрові моменти інерції довільного перерізу щодо координатних осей y і z (4.9), (4.10) і (4.12). Повернемо осі y і z на кут a проти годинникової стрілки, вважаючи кут повороту осей в цьому напрямку додатним, і знайдемо моменти інерції перетину щодо повернених осей:

де у1 і z1 - координати елементарних частин цього перерізу в новій системі координат, які можна виразити через старі координати:

y1 = ycos a- zsin a; z1 = zcos a + ysin a.


Підставимо ці вирази у співвідношення (4.17): Iy1 = j (zcos a + ysin a)2dA =

З урахуванням (4.9), (4.10) і (4.12), ці співвідношення можна представити у вигляді:

Ці формули дозволяють установити, як змінюються величини моментів інерції перерізу при повороті осей на деякий кут a. Для деяких значень цього кута осьові моменти інерції будуть досягати максимуму чи мінімуму.

Зі співвідношення (4.11) випливає, що коли осьовий момент інерції відносно деякої осі є максимальним, то осьовий момент інерції щодо перпендикулярної осі є мінімальним, тому що сума осьових моментів

щодо двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює полярному моменту

інерції.

Для знаходження такого кута повороту осей, при якому значення

осьових моментів інерції будуть екстремальними, досліджуємо функцію

Отримане рівняння (4.20) значення кута a0 визначає положення головних осей. Якщо кут а додатний, то систему координат треба повернути проти годинникової стрілки, щоб вона співпала з головними осями, якщо від'ємний - по годинникової стрілці.

Для визначення головних моментів інерції Imax і Imin розглянемо вираз (4.20), і, використовуючи тригонометричні перетворення, одержимо:

де u і v - головні центральні осі, щодо яких момент інерції перерізу максимальний і мінімальний відповідно.

Головні осі інерції можна одержати для будь-якої точки, взятої у площині перерізу. Але у практичних розрахунках використовуються тільки осі, що проходять через центр ваги перерізу. Такі осі називаються головними центральними осями інерції, а моменти відносно їх головними центральними моментами інерції.

Моменти інерції перерізу мають такі властивості:

осьові й полярні моменти інерції перерізів завжди додатні, відцентровий момент може бути як додатним, від'ємним, а відносно головних осей він дорівнює нулю;

моменти інерції складеного перерізу дорівнюють сумі моментів інерції фігур його складових;

осьові, полярні і відцентрові моменти інерції залежать від системи координат.

Розглянемо далі моменти інерції простих фігур.

Прямокутник (рис. 4.4), де b - ширина, h - висота прямокутника. Розіб'ємо прямокутник на нескінченно малі елементи площі bdy. Момент інерції всього прямокутника відносно центральної

Для осі, яка не проходить через      його    центр ваги, скористаємось
формулою (4.14). Наприклад, для осі z1:

Трикутник (рис. 4.5), де b - підстава, h - висота трикутника. По-перше розглянемо момент інерції відносно осі z1, яка проходить через його

вершину рівнобіжно основі. Розіб'ємо трикутник на нескінченно малі

елементи площі dy —. Тоді


Для визначення моменту інерції відносно центральної осі z, скористаємось формулою (4.14):

 (4.25)

Також момент інерції відносно осі z2, яка проходить через його основу:

Круг. Для нього знайдемо спочатку полярний момент інерції відносно його центру ваги (рис. 4.6). Розглянемо нескінченно малі елементи площі pdp. Полярний момент інерції усієї площі круга буде:

Ip= j2pp3dp = ^ ^ (4.27)


де d = 2г - діаметр круга.

Використовуючи формули (4.11), а також враховуючи те, що внаслідок симетрії Iz = Iy, знайдемо осьові моменті інерції:

I = I = Ip = pdl. (4.28)

4.4. Приклади розрахунків

Приклад 1.

Визначити положення центра ваги перетину, показаного на рис. 4.7. Геометричні розміри, приведені на малюнку рівні: а=4 см, b=6 см, h=3 см.

Розв 'язання.

Показана на рисунку вісь у, є віссю симетрії, отже, вона проходить через центр ваги перерізу, тобто координата центра ваги z<; =0. Для визначення координати ус скористаємося формулою (4.7).

Площі простих фігур:

Положення центрів ваги окремих фігур відносно довільно проведеної горизонтальної осі z0 (див. рисунок):

Приклад 2.

Визначити моменти інерції перерізу, показаного на рис. 4.8 щодо осей z і у. d=5 см, b=8 см, h=12 см. Розв' язання.

Показані на рисунку осі z, y - проходять через центр ваги перерізу і є осями симетрії, отже, це головні центральні осі.


Для визначення осьових моментів інерції скористаємося формулами (4.22) і (4.23), та віднімемо з моменту інерції прямокутника момент інерції

круга (4.28):

bh3 pd4

Відповідь: Осьові моменті інерції перерізу щодо головних центральних осей z і y дорівнюють Iz = 1121 см4, Iy = 481 см4.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я