3.5. Статично невизначені задачі

Стержні й стержневі конструкції, у яких внутрішні силові фактори від заданого навантаження можна визначити з рівнянь рівноваги, називаються статично визначними. Відповідно статично невизначеними називають стержні і конструкції, силові фактори в яких не можна визначити тільки з рівнянь рівноваги. Зусилля у стержнях статично визначних систем виникають тільки від зовнішніх навантажень. У статично невизначених стержнях і конструкціях внутрішні зусилля можуть виникати і при відсутності зовнішніх навантажень, наприклад, у результаті зсуву опор чи неточності виготовлення різних елементів.

Усі статично невизначені системи мають додаткові, чи «зайві» зв'язки у виді закріплень чи стержнів. Зайвими такі зв'язки називаються тому, що вони не є необхідними для рівноваги чи геометричної незмінюваності системи. Наявність таких зв'язків обумовлюється експлуатаційними факторами чи умовами міцності конструкцій.

Для розрахунку статично невизначених стержнів і стержневих конструкцій необхідно складати додаткові рівняння - рівняння спільності деформацій, що враховують характер деформування системи під дією зовнішніх навантажень. Різниця між числом невідомих і числом рівнянь рівноваги визначає ступінь статичної невизначеності і відповідно число додаткових рівнянь, які необхідно скласти. Складання рівнянь спільності деформацій є найбільш важливим етапом у рішенні статично невизначених задач.

Як приклад, розглянемо розрахунок статично невизначеного стержня, навантаженого подовжньої силою, наведеного на рис. 3.8,а.

У розглянутому стержні всі навантаження діють уздовж осі стержня, тому на його закріплених кінцях будуть діяти тільки вертикальні складові реакцій RA і RB, як показано на рисунку. З рівняння рівноваги: X Fx = 0 одержуємо:

Ra+Rb=F.

У цьому рівнянні рівноваги дві невідомі сили, отже, задача один раз статично невизначена, і потрібно скласти одне рівняння спільності деформацій. Для цього розглянемо деформування приведеного стержня. Так як він з обох країв жорстко закріплений, те його сумарна абсолютна деформація буде дорівнювати нулю Аі = 0, а деформації кожної ділянки (рис. 3.8,б і рис. 3.8,в) запишемо за законом Гука (3.9):

R і R і Аі = Аі, +Al 2 = Ral1 - Rb^ , 1  2 EA EA

R і R і EA  EA '

Це буде друге рівняння. Таким чином, для визначення реакцій опор RA і RB у нас є два рівняння з двома невідомими, з яких знаходяться невідомі сили:

Розглянемо ще один приклад розв'язання статично невизначених систем. На рис. 3.9,а наведена розрахункова схема статично невизначеної стержневої конструкції.

Запишемо умову рівноваги вузла А. Так як це система сил, що сходиться, то рівнянь рівноваги можна скласти тільки два - суми проекцій усіх сил на осі х і у:

X Fx = -N2 sin a + N3 sin a = 0; X Fy = N1 + N2cos a + N3cos a- F = 0.

а) б) Рис. 3.9

У цих двох рівняннях рівноваги три невідомих зусилля, отже, задача один раз статично невизначена, потрібно скласти одне рівняння спільності деформацій. Перетворимо рівняння рівноваги в такий спосіб: із першого рівняння виходить N2 = N3. З обліком чого друге рівняння можна подати у

вигляді

N + 2N2 cos a = F.

Таким чином, у нас маємо одне рівняння з двома невідомими. Для того щоб одержати рівняння спільності деформацій, розглянемо деформування наведеної на рисунку конструкції. Так як, система симетрична щодо осі середнього стержня, то вузол А при деформуванні опуститься по вертикалі на деяку величину (рис. 3.9,б). На таку ж величину подовжиться і середній стержень (на рисунку А/і), бічні стержні так само подовжаться на А/3 і займуть положення, показане на рисунку штриховими лініями. Оскільки абсолютні деформації стержнів малі в порівнянні з їхніми геометричними розмірами, то кути між стержнями в первісному і деформованому стані будуть відрізнятися незначно і можна одержати рівняння спільності деформацій у такий спосіб:

A/2=A/3=A/1cosa.

Запишемо деформації стержнів за законом Гука (3.9):

Таким чином, одержано рівняння спільності деформацій. Остаточно для визначення внутрішніх зусиль у стержнях маємо два рівняння з двома невідомими. Розв'язання їх дає:


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я