3.2. Напруження в стержнях при розтягу-стиску

При розрахунках на міцність крім внутрішніх сил, що діють у перерізи необхідно визначати і напруження в різних точках перерізу.

Подовжня сила, що виникає в поперечному перерізі стержня, є рівнодіючої внутрішніх нормальних сил, що діють на елементарних площадках, розподілених по площі перерізу. Вона зв'язана з нормальними напруженнями співвідношенням (i.4). Для визначення напружень у кожній точці необхідно знати закон розподілу напружень по перерізу стержня.

При спостереженні деформування стержня, навантаженого подовжніми силами, відзначено, що якщо нанести на його поверхню лінії, перпендикулярні осі, то ці лінії після додатка навантаження переміщуються паралельно первісному положенню, залишаються прямими і перпендикулярними осі стержня. Якщо припустити, що аналогічна картина спостерігається й усередині перерізу, то можна зробити висновок, що поперечний переріз стержня, плоский до деформування, залишається плоским і після нього, переміщуючись поступально уздовж осі стержня. Це припущення називається «гіпотезою плоских перерізів». Якщо розглядати деформування стержнів у припущенні про однорідність матеріалу, то можна зробити висновок, що однаковим подовженням відповідають однакові напруження. Таким чином, напруження в поперечних перерізах усіх волокон рівні між собою і, отже, у всіх точках поперечного перерізи стержня.

Тому що величина напруження в поперечному перерізі не змінюється, то в співвідношенні (1.4) напруження можна винести з-під знака інтегрування:

N = \ sdA = а\ dA = оА, (3.1)

A A

відкіля (рис. 3.4):

s =N, (3.2)

де А - площа поперечного

перерізу стержня. ^

N

Аналогічним чином визначають F
напруження і при стиску, при цьому
вони, так само як і подовжня сила  Рис. 3.4

мають від'ємну величину.

Таким чином, у поперечних перерізах стержня при центральному розтязі чи стиску виникають рівномірно розподілені нормальні напруження, рівні відношенню подовжньої сили до площі поперечного переріза стержня.

При цьому необхідно мати на увазі, що співвідношення (3.2) справедливе тільки для тих перерізів, що досить вилучені від місць прикладення зосереджених навантажень. Це випливає з принципу Сен-Венана. У близь цих місць розподіл напружень носить складний характер і його опис вимагає більш точних методів досліджень.

Визначимо тепер величини напружень, що виникають у похилих перерізах стержнів при розтягу-стиску. Розглянемо стержень, на котрий діють протилежно спрямовані сили, що розтягують. Проведемо переріз I-I під кутом a до поперечного перерізу, як показано на рис. 3.5,а, тобто поворот проти годинної стрілки від напрямку сили до нормалі n перерізу.

Розглянемо рівновагу правої частини (рис. 3.5,6). Напрямок вектора напружень буде збігатися з напрямком дії сили, що розтягує, а його результуюча буде дорівнювати F. Так як, внутрішні силові фактори рівномірно розподіляються по перерізу, то абсолютна величина вектора напружень дорівнює:

F

p=к,

де Ла - площа перерізу


I


Нормальні напруження у поперечному перерізі знайдемо зі співвідношення (3.2):

О0 =

IF

Л0

де А 0 - площа поперечного перерізу.

Площа похилого перерізу

Вектор напружень являє собою рівнодіючу внутрішніх сил на елементарній площадці похилого переріз площею АА1. Цю рівнодіючу

можна розкласти на дві складові: нормальну і дотичну, як показано на рис. 3.5,в. Ці складові є нормальними і дотичними напруженнями:

oa -pcosa-o0cos2 a, (3.3) ta - psin a-о 0sin a cos a- ^sir^a. (3.4)

Дотичне напруження вважається позитивним, якщо його напрямок збігається з напрямком нормалі, поверненої на 90° по годинній стрілці.

Таким чином, при розтязі стержня подовжньою силою в ньому виникають одночасно нормальні і дотичні напруження і відповідні їм лінійні і кутові деформації. Вони будуть змінюватися в залежності від кута нахилу перерізу. Визначимо максимальні значення компонентів напружень. З виразу (3.3) випливає, що максимальне значення нормального напруження досягається при a=0° і дорівнює:

Samax -S0. (3.5)

При цьому, дотичні напруження в поперечному перерізі дорівнюють нулю, тому що, згідно (3.4):

т -^sin0 - 0. a 2

Максимальне по абсолютній величині значення дотичних напружень буде на площадках, нахилених під кутом 45° до поперечного перерізу, і дорівнюють половині максимального нормального напруження:

Нормальні напруження в цих перетинах також, згідно (3.3), будуть дорівнюють половині максимального нормального напруження:

В поздовжніх перерізах (при a=90°) напруження відсутні.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я