4.7. Комплексна форма запису законів Кірхгофа

У загальному випадку за першим законом Кірхгофа в комплексній формі алгебраїчна сума комплексних значень струмів гілок, що сходяться у вузлі, до­рівнює нулю:

де Ik - комплексне значення струму в k-й гілці має дві форми запису:

де I\ = Iak - активна складова струму к-ї гілки (в теорії комплексних чисел -

дійсна складова); 1 "к =1 рк - реактивна складова струму к-ї гілки (в теорії ком­плексних чисел - уявна складова); n - кількість гілок, що сходяться у вузлі.

Відповідно до другого закону Кірхгофа, для будь-якого замкненого кон­туру алгебраїчна сума комплексних значень падінь напруг на його ділянках до­рівнює алгебраїчній сумі комплексних значень ЕРС, що діють у контурі:

де JJk - комплексне значення падіння напруги на к-й ділянці контуру; Ек -

комплексне значення ЕРС к-ї ділянки контуру; n - кількість ділянок з пасивни­ми елементами; m - кількість ділянок з ЕРС.

Для напруг і ЕРС, як і у випадку з комплексними струмами, можливі дві форми запису:

Jk = J \ + jJ "к = JtA + jJpk, (4.23)

Ек = Е\ + jE-к = + j-Ерк, (4.24) де J\ = Jак й Е к = Еак - активна складова падіння напруги й ЕРС в k-й гілці

(у теорії комплексних чисел - дійсна складова); J"к = Jрк, Е"к = Ерк - реакти­вна складова падіння напруги й ЕРС в k-й гілці (у теорії комплексних чисел -уявна складова).

Правило знаків при комплексній формі запису рівнянь за законами Кірх-гофа зберігається таке саме, що і для кіл постійного струму.

Розглянемо запис законів Кірхгофа на прикладі схеми електричного кола (рис. 4.10,а), у якій діють синусоїдальні ЕРС, миттєві значення яких задані рів­няннями

в! = Eimsin(cof + yi),

Є2 = E2msin(COf + y).

Під дією цих ЕРС у всіх гілках кола з'являться синусоїдальні струми, а на окремих ділянках його виникнуть синусоїдальні падіння напруги.

Для визначення струмів цієї схеми при заданих значеннях ЕРС е1 і е2 і опорів (резистивних ^1 ^ і?5, індуктивного L4 і ємнісного C5) за законами ірх­гофа потрібно скласти систему з п'яти рівнянь. Порядок складання рівнянь та­кий самий, що й у випадку з постійним струмом (див. розділ 2.7).

для контуру II: R111 + jX 414 - R212 = E1 - E 2;

(4.28)

для контуру III: (R5 - jX5) 15 - jX414 = 0.  (4.29)

Таким чином, отримані рівняння (4.25) - (4.29) є законами Кірхгофа, що записані в комплексній формі для схеми електричного кола на рис. 4.10,а.

На рис. 4.10,б як приклад показана векторна діаграма ЕРС і напруг контуру II, що наочно ілюструє другий закон Кірхгофа в комплексній формі.

Висновки

В силу чисельних переваг за техніко-економічними показниками змін­ний (синусоїдальний) струм порівнянно з постійним має більш широке застосу­вання.

В електричних колах змінного струму, на відміну від кіл постійного струму, індуктивні і ємнісні елементи впливають на режим роботи кола.

Для оцінки діючого значення змінного струму порівнюють ефект від його проходження через елемент схеми з аналогічним ефектом при проходжен­

ні через цей елемент постійного струму.

Середнє значення змінного (синусоїдального) струму визначається за половину його періоду.

Синусоїдальні струми й напруги можуть бути подані у вигляді триго­нометричних функцій, у вигляді графіків зміни в часу, у вигляді обертових век­торів і у вигляді комплексних чисел.

Комплексні значення синусоїдальних струмів і напруг можуть бути по­дані в показовій, тригонометричній і алгебраїчній формі.

Застосування комплексних чисел для аналізу електричних кіл змінного струму дозволяє спростити розрахунки й зробити їх більш наочними.

Запитання для самоперевірки

Що розуміють під змінним струмом? Періодичним струмом?

Дайте характеристику резистивного (індуктивного, ємнісного) елемен­та електричного кола.

Що розуміють під індуктивністю?

У чому різниця фізичних процесів в індуктивному елементі при про­ходженні через нього постійного і змінного струму?

Що розуміють під ємністю?

У чому відмінність фізичних процесів у ємнісному елементі при його роботі в колах постійного й змінного струму?

Що розуміють під діючим значенням періодичного струму? Напруги?

Що розуміють під середнім значенням періодичного синусоїдального струму?

Поясніть параметри синусоїдального струму. Напруги.

Що розуміють під векторною діаграмою? У чому її перевага при аналі­зі електричного кола?

11 .Які форми запису комплексних значень синусоїдальних струмів засто­совують на практиці? 12. Запишіть закони Кірхгофа в комплексній формі запису і поясніть їх.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я