4.5. Комплексна форма подання синусоїдальних напруг і струмів

При розрахунках електричних кіл з синусоїдальними ЕРС, напругами й струмами досить ефективним є комплексний метод аналізу. При зображенні обертових векторів синусоїдальних величин на комплексній площині вісь абс­цис площини декартових координат сполучають з віссю дійсних величин (вісь +1) комплексної площини. Тоді миттєві значення синусоїдальних величин одержують на осі уявних величин (вісь

Для того, щоб подати синусоїдальну ЕРС

е = Em sin(cot + у (4.15)

з початковою фазою у проведемо на комплексній площині (рис. 4.8) з початку координат під кутом удо осі дійсних величин вектор, довжина якого в масшта­бі зображення дорівнює амплітуді ЕРС Em. Кінець цього вектора перебуває в точці, якій відповідає певне комплексне число - комплексна амплітуда ЕРС:

Em = Emey= (416)

При збільшенні в часі фази ЕРС cot + y кут між вектором і віссю дійсних величин зростає, тобто отримаємо обертовий вектор

EmeJ{а+y) = Em cos(ct + y) + jEm sin(ct + y)

Як бачимо, уявна складова обер­тового вектора дорівнює заданій сину­соїдальній ЕРС.

Вектор на комплексній площині, довжина якого в масштабі зображення дорівнює діючому значенню синусоїда­льної ЕРС, називається комплексним діючим значенням синусоїдальної ЕРС

Подпись: EeПодпись: Em
72
Подпись: 0
Рис. 4.8 - Зображення синусоїдальної ЕРС обертовим вектором на компле-ксній площині

jy

EZy

(4.17)

Так само позначається і сам век­тор на комплексній площині (рис.4.8).

Використовують три форми запису комплексного значення синусоїдаль­них ЕРС, струмів і потужностей. Розглянемо їх на прикладі синусоїдальної

ЕРС.

Алгебраїчна форма

іншому вигляді

Алгебраїчна форма запису більш зручна при додаванні й відніманні ком­плексних чисел.

Тригонометрична форма запису є похідною від алгебраїчної і зручна при переході від показової до алгебраїчної форми запису. З урахуванням того, що cosy = E7E, siny/ = E"/E, тригонометрична форма запису має вигляд

E = E cosy + jE siny

Показова форма запису є похідною від тригонометричної й має вигляд

E = Ee = E^y. Ця форма запису більш зручна при множенні, діленні, добутті кореня комплексних чисел.

Перехід від показової форми запису синусоїдальних величин до тригоно­метричної виконують за допомогою формули Ейлера:

ejy =

cosy + j siny.

Таким чином, якщо задано миттєве значення напруги (струму і т.д.) у ви­гляді синусоїди е = Em sin(cot + y), то комплексну амплітуду записують спочат­

ку в показовій формі, а потім за формулою Ейлера переходять до алгебраїчної форми.

При аналізі кіл синусоїдального струму застосовують головним чином комплексні діючі значення синусоїдальних величин, скорочено їх називають комплексними значеннями, а відповідні вектори на комплексній площині -векторами комплексних значень.

Користуючись векторною діаграмою, додавання і віднімання комплекс­них значень можна замінити додаванням і відніманням відповідних векторів. Це спрощує розрахунки і робить їх наочними.

Напрямок синусоїдальних величин (струм, напруга) у колі періодично зміню­ється, але один з двох напрямків приймають за позитивний. Цей напрям обирають дові­льно й показують стрілкою на схемі відпові­дної ділянки кола. При обраному додатному напрямі синусоїдальну величину представ­ляють миттєвим значенням (наприклад, для Рис.4.9 - Вибір позитивного напруги e = £msin(cot + y)) і відповідним напрямку синусоїдальної ЕРС комплексним значенням (e = eZy -рис. 4.9).

Отже, взаємно однозначному поданню синусоїдальних струмів, напруг та інших величин у вигляді миттєвих і комплексних значень відповідають їхні од­накові позитивні напрями (рис. 4.9).

Застосування комплексних чисел дозволяє від геометричного додавання або віднімання векторів на векторній діаграмі перейти до алгебраїчної дії над комплексними числами цих векторів. Наприклад, для визначення комплексної амплітуди результуючого струму (рис.4.6) досить скласти два комплексних чи­сла, що відповідають комплексним амплітудам струмів:

Для визначення комплексної амплітуди результуючої ЕРС (рис. 4.7) до­сить визначити різницю комплексних чисел, що відповідають комплексним ам-


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я