3.3. Метод контурних струмів

Метод контурних струмів дозволяє зменшити загальну кількість т спіль­но розв'язуваних рівнянь на (n - 1) і звести систему до кількості к=т-(п-1) рів­нянь, що складені за другим законом Кірхгофа. В цьому методі введене поняття контурні струми, під яким розуміють розрахункові (умовні) струми, що за­микаються тільки у своїх контурах.

Розглянемо, наприклад, схему кола на рис. 3.3. Розіб'ємо її на три дотичні контури й умовимося, що кожним з них протікає свій контурний струм її , Іц , Іщ. Напрям цих струмів задаємо за годинниковою стрілкою. Зіставляючи кон­турні струми зі струмами гілок, напрям яких також нанесено на схему, можна записати:

Ії = І1, Іїї = -І6, Іш = Із. (3.10)

Струми ж суміжних гілок дорівнюють різниці контурних струмів сусідніх контурів:

(3.11)

h = hi - Лп, Ц = Ii - hi,

І5=Im - hi.


Отже за відомими контурними струмами схеми можна визначити дійсні струми її гілок.

Для знаходження контурних струмів цієї схеми досить скласти тільки три рівняння для кожного з контурів:

для контуру і: (R1 + R10+ R5 + R4) Ii - R4- Iii - R5- = E1 + E4;

для контуру ii: R + R6 + R4)- hi - R41 h - Rr hii = E2 - E4; > (3.12)

для контуру iii: (R2 + R5 + R3)- hii - R5" hi - Rr hi = E3 - E2.

Розв'язуючи отриману систему рівнянь, знайдемо контурні струми, а за ними - дійсні струми гілок.

Метод контурних струмів часто використовують для доказу інших мож­ливих методів розрахунку, для аналізу кіл у загальному вигляді. У цьому випа­дку рівняння контурних струмів записують в узагальненому вигляді. Для цього сумарний опір певного контуру позначають двома нижніми індексами, що вказують номер контуру, і називають його власним опором контуру.

Так, власні опори трьох контурів схеми дорівнюють:

(3.13)

R11 = R1 + R10 + R5 + R4; R22 = R2 + R6 + R4; \ R33 = R2 + R5 + R3.

Загальні опори суміжних контурів розглядають як коефіцієнти при струмах і позначають двома нижніми індексами, що вказують, між якими сусі­дніми контурами включений цей опір. Наприклад, для розглянутої схеми

R12 = R4, R13 = R5, R23 = R2. (3.14)

(3.15)

З огляду на ці позначення рівняння (3.12) можна переписати у загально­му вигляді:

-           R21* hi + R22* hii - R23* hiii = Eii;

-           R31* hi - R32* hii + R33* hiii = Eiii. .

ЕРС у цих рівняннях

Ei = E1 + E4, En = E2 - E4 і Em = E3 - E2 (3.16)

є контурними ЕРС, величини яких визначають алгебраїчним додаванням окре­мих ЕРС гілок цього контуру. При цьому ЕРС, що збігаються з напрямком кон­турного струму, складають зі знаком "плюс".

Матрична форма запису системи (3.15) має вигляд

де коефіцієнти матриці-стовпця контурних ЕРС визначають співвідношеннями (3.16). У загальному випадку для схеми довільної конфігурації система рівнянь контурних струмів має вигляд

R-I = E , (3.18)

де R - квадратна матриця коефіцієнтів при невідомих контурних струмах; I -матриця-стовпець невідомих контурних струмів; E - матриця-стовпець контур­них ЕРС.

Розв'язання системи рівнянь (3.18) має вигляд

I = R-1E

(3.19)

де R-1 - матриця, зворотна матриці коефіцієнтів R.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я