3.1. Застосування законів Кірхгофа для аналізу складних кіл

Розглянемо застосування законів Кірхгофа для визначення струмів гілок на прикладі схеми кола (рис. 3.1), якщо ЕРС і опори її елементів задані (алго­ритм розрахунку наведено в п.2.7.3).

Кількість невідомих струмів схеми дорівнює кількості m її гілок. Тому для розв'язання задачі необхідно скласти систему, яка має m = 6 незалежних рі-

внянь.

У заданій схемі (рис. 3.1) кількість вузлів n = 4. Задамо довільний напрям струмів окремих гілок схеми. Умовимося, що струми, спрямовані до вузлів, мають знак "плюс", а струми, спрямовані від вузлів - знак "мінус". Обравши ву­зли b, c і dяк незалежні, можна скласти наступну систему рівнянь:

для вузла b: для вузла c: для вузла d:

Відсутню кількість рівнянь m - (n - 1) = 6 - (4 - 1) = 3 складаємо, корис­туючись другим законом Кірхгофа. Щоб кожне з рівнянь було незалежним від попередніх, треба всю схему розбити на незалежні контури. Розбивку доцільно почати з вибору найпростішого контуру (з найменшою кількістю гілок), а потім стежити, щоб кожний наступний контур був незалежним від попереднього, для чого до нього повинна входити хоча б одна гілка, що не увійшла до розгляну­тих раніше контурів.

Виберемо три незалежних контури (на рис.3.1 позначені римськими циф­рами I, II, III) і приймемо їх обхід за напрямом руху годинникової стрілки. Тоді за другим законом Кірхгофа отримаємо:


для контуру I:            R1 • І1 - R5• І5 - R2• І2 = E1 - E2,

для контуру II:          R2 • І2 + R4 • І4 + R3 • І3 = E2, >- (3.2)

для контуру III:         R 5 І5 - R6 І6 - R4 І4 = 0.

Рівняння (3.1) і (3.2) утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь

розв'язання якої дає значення струмів у гілках схеми.

Як було відзначено в п.2.7.3, якщо при розв'язанні рівнянь струми окре­мих ділянок вийдуть негативними, то це означатиме, що їхній дійсний напрям протилежний тому, що був заданий перед розрахунком схеми.

Розглянемо розв' язання задачі розрахунку режиму кола в загальному випадку, коли схема заміщення кола має n вузлів і m гілок, з яких mj гілок міс­тять джерела струму. При заданих ЕРС і опорах гілок розрахунок зводиться до знаходження струмів у m гілках.

Розглянемо спочатку розрахунок для схеми без джерел струму. Як ми вже зазначали, для розв'язання задачі необхідно скласти n -1 незалежних рів­нянь за першим законом Кірхгофа і к = m-(n-1) незалежних рівнянь за другим законом Кірхгофа. Отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь у матрич­ній формі запису має вигляд

A I = C, (3.4)

де A - матриця коефіцієнтів системи; I - матриця-стовпець невідомих струмів системи; C - матриця-стовпець правої частини системи.

Для системи (3.3) матриці A, I і C мають вигляд

Систему алгебраїчних рівнянь (3.4) для складних кіл зазвичай розв'язують чисельними методами на ПЕОМ з використанням сучасних пакетів програм, наприклад MATLAB або MATCAD.

При розрахунку схем, в mj гілках яких є джерела струму, порядок розв'я­зуваної системи зменшується. Оскільки струми mj гілок відомі, то кількість не­залежних контурів (без джерел струму), для яких необхідно скласти рівняння за другим законом Кірхгофа, дорівнює к = m - mj - (n - 1).


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я