Закони Кірхгофа

У теорії електричних кіл важливе значення мають експериментально встановлені в 1847 р. німецьким фізиком Г.Р.Кірхгофом закони, що мають на­зву 1 -го й 2-го законів Кірхгофа.

2.6.1. Перший закон Кірхгофа формулюють у такий спосіб: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю. Для випадку постійних струмів математичний запис першого закону Кірхгофа має вигляд

При записі рівнянь за першим законом Кірхгофа підсумовування струмів роблять алгебраїчно: струмам, що спрямовані до вузла, привласнюють один знак, наприклад позитивний, а струмам, що спрямовані від вузла, - інший знак, наприклад негативний. Тому часто зустрічається ще інше формулювання пер­шого закону Кірхгофа: сума струмів, що притікають до вузла, дорівнює сумі струмів, що виходять з нього.

Якщо до вузла підключені кілька генераторів струму, то сума струмів, що генеруються ними, £ ІГ повинна з відповідними знаками бути присутньою у

лівій частині рівняння (2.58).

Приймемо для схеми на рис. 2.9 струми, що входять до вузла d, позитив­ними (Іг і а струми, що виходять з вузла - негативними (I2 і І3). Тоді можемо записати наступне рівняння за першим законом Кірхгофа

ІГ + Іі - І2 - Із= 0, (2.59) що відповідатиме 1-му формулюванню першого закону Кірхгофа, або у вигляді ІГ + Іі = І2 + Із , (2.60)

що відповідає 2-му формулюванню першого закону Кірхгофа, або легко отримується шляхом перетворення співвідношення (2.59).

Другий закон Кірхгофа. Цей закон є наслідком закону збереження енергії, внаслідок якого зміна потенціалу в замкнутому контурі дорівнює нулю. Зміну потенціалу між парою вузлів ділянки характеризують різницею потенціа­лів або рівною їй напругою.

При обході замкненого контура окремими ділянками потенціал кінцевого вузла т цієї ділянки підвищується щодо потенціалу його початкового вузла n на величину напруги, якщо напрям обходу протилежний напряму стрілки на­пруги, і знижується, коли напрям обходу й напрям стрілки напруги збігаються. Тому зміни потенціалу в замкненому контурі можна визначити складанням на­пруг з урахуванням їхніх знаків. Відповідно до другого закону Кірхгофа алгеб­раїчна сума напруг ділянок замкненого контуру дорівнює нулю (перше фор­мулювання):

SUmn = 0. (2.61)

При цьому умовно вважають позитивними напруги, напрями яких збіга­ються з напрямом обходу контуру, їх вводять до виразу з позитивними знаками, а напруги, напрями яких протилежні напряму обходу, - з негативними знаками.

Стосовно схем заміщення з джерелами ЕРС другий закон Кірхгофа фор­мулюється в такий спосіб: алгебраїчна сума напруг на резистивних елемен­тах замкненого контуру дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що входять у цей контур (друге формулювання)

SJ-R = S E. (2.62)

Порядок аналізу кіл. Застосування першого й другого законів Кір­хгофа для аналізу електричних кіл дозволяє виконати розрахунок практично будь-якого кола. Як правило, при дослідженні відомі ЕРС і опори усіх елемен­тів схеми й потрібно знайти значення струмів і потужностей у гілках схеми. Порядок розрахунку розглянемо на прикладі схеми кола, що показана на рис. 2.10.


Алгоритм розрахунку:

На вихідну схему довільно наносимо напрями струмів у гілках (на рис. 2.10,б струми І1, І2 і І3). Якщо в гілці є ЕРС, то напрям струму краще задати співпадаючим з напрямом цієї ЕРС. Наносимо позначення вузлів (вузли 1 і 2 на рис. 2.10,б).

Визначаємо кількість вузлів n, гілок m і незалежних контурів к.

Незалежним називають контур, до якого входить хоча б одна нова гі­лка. Кількість незалежних контурів дорівнює k = m - (n - 1).

3.         Для незалежних контурів довільно задаємо напрям обходу (на
рис. 2.10,б контури І і II, напрям обходу за годинниковою стрілкою).

Для визначення невідомих струмів у гілках треба скласти систему ліній­них алгебраїчних рівнянь, кількість яких дорівнює кількості невідомих струмів. За першим законом Кірхгофа можна скласти n-1 незалежних рівнянь. Викорис­тати всі n рівнянь неможливо, оскільки одне з них обов'язково буде залежним. Це пов'язано з тим, що струми гілок увійдуть до рівнянь, які складені для всіх n вузлів, двічі, причому з різними знаками (зі знаком «-» при записі струму спря­мованого від одного вузла, і зі знаком «+» при записі цього ж струму, спрямо­ваного до другого вузла). При додаванні всіх рівнянь ліва й права частини бу­дуть дорівнювати нулю, а це означає, що одне з рівнянь можна одержати скла­данням n-1 рівнянь і заміною знаків усіх струмів на протилежні. Таким чином, n-не рівняння завжди буде залежним, тому використати його для визначення струмів не можна.

Встановлюємо число незалежних рівнянь за першим законом Кірхгофа і записуємо ці рівняння.

Відсутні рівняння складемо за другим законом Кірхгофа. Кількість рів­нянь, що складають за другим законом Кірхгофа, повинна дорівнювати кількос­ті незалежних контурів k.

Розв'язуємо отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих струмів у гілках.

Для перевірки правильності розрахунку отриманих значень струму скла­даємо рівняння балансу потужностей джерел і приймачів електричної енергії

SE-I = S І2-Я, (2.63)

в якому права частина характеризує потужність пасивних приймачів електрич­ної енергії, а ліва - потужність активних елементів кола. При складанні рівнян­ня балансу потужностей слід мати на увазі, що в лівій його частині із знаком плюс записують ті доданки, для яких напрямки ЕРС і струму збігаються. Якщо ж напрямки ЕРС і струми протилежні (робота джерела в режимі споживання електричної енергії), то відповідні доданки записують зі знаком мінус у лівій частині рівняння або зі знаком плюс у правій його частині, що відповідає поту­жності активного приймача електричної енергії.

Схема електричного кола на рис. 2.10,а містить два вузли (n = 2), три гіл­ки (m = 3) і два незалежних контури:

к = m - (n -1) = 3 - (2 -1) = 2.

За першим законом Кірхгофа для неї можна скласти одне незалежне рів­няння, наприклад, для вузла

За другим законом Кірхгофа необхідно скласти два рівняння для двох не­залежних контурів (на схемі рис. 2.10,б контури І і ІІ). З урахуванням прийня­тих напрямів обходу контурів ці рівняння мають вигляд:

для контуру І

Ri І + R2 І = Ei - E2 ; (2.65)

для контуру II

-R2 • І2 + (R3 + R4 ) • Із = E2 + Ез. (2.66)

При складанні рівнянь (2.65), (2.66) зі знаком плюс записуємо ті доданки, у яких струм і ЕРС мають напрями, що збігаються з напрямом обходу контуру.

Розв'язуючи систему рівнянь (2.64), (2.65) і (2.66), можна визначити неві­домі струми (три рівняння, три невідомих І1 , І2 , І3 ). Якщо в результаті розв'язання цих рівнянь вийдуть від'ємні значення струмів, то це означає, що істинні напрями струмів у гілках кола протилежні напрямам, прийнятим на рис.2.10,б.

Складаємо рівняння балансу потужностей і виконуємо перевірку рішен­ня. Для нашого випадку (рис.2.10,б) рівняння балансу потужностей має вигляд

Для інженерних розрахунків відносна похибка отриманого рішення 8 = 2 ^ 5 % у більшості випадків вважається задовільною.

Висновки

Чим більша різниця потенціалів на межах ділянки кола, тим більша си­ла струму при заданій величині опору кола.

Для підвищення стабільності напруги на споживачі потрібно знижува­ти внутрішній опір джерела.

Для одержання високого ККД споживача його внутрішній опір повинен багаторазово перевищувати внутрішній опір джерела.

Потужність зовнішнього кола максимальна, коли опір зовнішнього ко­ла дорівнює внутрішньому опору джерела.

Послідовно з'єднані приймачі з однаковими номінальними напругами мають найкращі умови роботи при однакових номінальних потужностях.

Потужність кола, що складається з паралельних гілок, дорівнює сумі потужностей його окремих гілок.

Опір будь-якого променя еквівалентної «зірки» дорівнює добутку опо­рів сторін «трикутника», що прилягають до плеча, поділеному на суму опорів усіх сторін «трикутника».

Опір резистора будь-якої сторони еквівалентного «трикутника» дорів­нює сумі опорів променів «зірки», що примикають до цієї сторони «трикутни­ка», і дробу, чисельник якого дорівнює добутку опорів резисторів цих проме­нів, а знаменник - опору резистора третього променя «зірки».

Сума струмів, що притікають до вузла, дорівнює сумі струмів, що ви­ходять із нього (перший закон Кірхгофа).

Алгебраїчна сума напруг ділянок замкненого контуру дорівнює нулю (другий закон Кірхгофа).

Кількість незалежних рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа для довільного кола, дорівнює кількості вузлів кола мінус 1.

Кількість незалежних рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа для довільного кола, дорівнює кількості незалежних контурів кола.

Запитання для самоперевірки

Дайте визначення закону Ома для всього кола.

В яких режимах може працювати джерело?

Що розуміють під номінальними даними електроприймача?

Як розраховують потужність (роботу) електричного струму?

Дайте визначення повної і корисної потужності, потужності втрат.

Запишіть основні співвідношення для визначення ККД електричного кола.

Поясніть закон Джоуля-Ленца.

За яких умов джерело віддає до зовнішнього кола максимальну потуж­ність?

Поясніть загальні властивості послідовного з'єднання елементів кола.

Поясніть загальні властивості паралельного з'єднання елементів кола.

У чому суть методу еквівалентного перетворення?

Запишіть формули еквівалентного перетворення «зірки» на «трикут­ник», «трикутника» на «зірку».

Поясніть фізичний зміст першого (другого) закону Кірхгофа.

Скільки незалежних рівнянь можна скласти за першим законом Кірх­гофа для схеми довільної конфігурації?

Скільки незалежних рівнянь можна скласти за другим законом Кірх­гофа для схеми довільної конфігурації?

Поясніть алгоритм знаходження невідомих струмів для схеми довіль­ної конфігурації за першим і другим законами Кірхгофа.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я