1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Дифференциальным уравнением теплопроводности называется математическая зависимость, связывающая между собой все физические параметры, характеризующие явление теплопроводности внутри объема. Если такую связь найти явно относительно температуры, т.е. T = f (x, y, z,t), то можно определить плотность теплового потока. Для вывода дифференциального уравнения теплопроводно­сти необходимо представить себе объем тела в декартовой или цилиндрической системе координат (рис. 1.4), которое нагревается или охлаждается и внутри которого имеет место температурное поле.

Теплопроводность вещества зависит от температуры, координат точки, времени, плотности, теп­лоемкости и других физических параметров тела. Для установления математической зависимости этих параметров необходимо часть из них взять в бесконечно малом значении, в виде частных произ­

водных ( dT/dx, dT /dy, dT/dr , dqx /dx и т.д.), а часть в конечном - йТ, dx, dy, dz, dт, X, с, р. Кроме то­го, из математической физики необходимо вспомнить следующие положения.

РИС. 1.4. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА И ЦИЛИНДРА

1. Вектор плотности теплового потока qn (рис. 1.5), направленный перпендикулярно изотермиче­ской поверхности Т, может быть разложен на составляющие по координатным осям:

q = q cos(nx) =-X        cos(nx) =-X     ;

x     n dn dx

л         dT       л dT
q = q cos(ny) =-X        cos(ny) =-X     ;

q = q cos(nz) =-X        cos(nz) = -X    .

z     n dn dz

2. Если элементарный параллелепипед вблизи точки M ориентирован относительно осей коорди­нат, то количество теплоты, вошедшее внутрь его за время йт, может быть выражено суммой

q1 = qx1 dy dz di + qy1 dx dz di + qz1 dx dy di,

где qx1 - составляющая плотности теплового потока в направлении x за время йт на поверхности dy dz, слева; qy1 - то же в направлении y на поверхности dx dz, слева; qz1 - то же в направлении z на поверхности dx dy, слева.


Количество теплоты, вышедшей за то же самое время йт изнутри параллелепипеда, определяется аналогично:

где qx2 - составляющая плотности теплового потока в направлении x за время йт на поверхности

dy dz, справа; qy2 - то же в направлении y на поверхности dx dz, справа; qz2 - то же в направлении z на

поверхности dx dy, справа.

3. Удельным внутренним тепловыделением называется отношение

dQ

dVdT

где dQw - количество теплоты, выделяемое в объеме dV = dx йу dz за время йт.

При проектировании экспериментальных установок в технике чаще всего W может задаваться и благодаря этому определяется

dQw = WdVdT .

4. Если £, = f (n, т), то частные дифференциалы определяются из условий

dt dt
db, =— dx;     dt =— dn .
x   dx n dn

5. Если \ = f (x, y, z, т), то частные дифференциалы определяются из условий

L = ^xdx ;   dty = ^dy;

x    dx            y dy

r    dt r dt

dtz =——dz ;   dt =—- dx .
dz       
т dx

6. Дифференциалом физического параметра называется бесконечно малая разность последую­щего и предыдущего ее значений:

dt = (t2 - tl)     или     -dt = (tl - t2),

где £2, ^1 - последующее и предыдущее значения физического параметра.

7. Если начало координат (рис. 1.4) расположить в центре тела, то во всех случаях его средняя тем­пература определяется по формулам: • для параллелепипеда

Выделим внутри объема тела (рис. 1.4) элементарный параллелепипед и расположим его в декар­товой системе координат (рис. 1.6).

Если теплоты в объеме появляется больше, чем уходит из него за то же самое время, то в объеме имеет место прибыль теплоты. Если же теплоты в объеме появляется меньше, чем уходит из него за то же самое время, то в объеме - убыль теплоты.

Прибыль или убыль теплоты в элементарном объеме dV = = dxdydz может быть выражена из следующего уравнения теплового баланса

Рис. 1.6. Элементарный параллелепипед в объеме V и два различных пути движения элементарного параллелепипеда от точки 1 к точке 2:

а - произвольное перемещение точки в пространстве; б - перемещение точки вдоль координатных осей x, y, z

(qxX dydz +     dxdz + q^i dxy) dz + WdVdz = = (qx2 dydz + qy 2 dxdz + qz 2 dxdy) dz + (cp) dVdT.

В левой части уравнения теплового баланса (1.1), с индексом 1, показан приход теплоты за еди­ницу времени т, а в правой части, с индексом 2, - уход теплоты из параллелепипеда. Соотношение W dV dz характеризует внутреннее тепловыделение за счет положительных (W) или отрицательных (минус W) источников теплоты, а если их нет, то

W = 0. Соотношение (cp) dVdT - приращение теплоты в объеме за счет изменения его температуры (прибыль или убыль теплоты).

Следовательно, баланс теплоты для элементарного параллелепипеда может быть сформулирован так: теплота, пришедшая внутрь объема и выделившаяся внутри за время dT, равна теплоте, ушедшей изнутри объема и пошедшей на изменение его температуры за тот же отрезок времени dT. Из уравне­ния теплового баланса следует

(cp) dVdT = [(qxi -     ) dydz + (qyi - qy2) dxdz + + (qzi - qz2) dxdy] dT + WdVdz.

Так как qi изменяется до q2 на дифференциально малом расстоянии, то разность в круглых скоб­ках есть также бесконечно малая величина. Здесь и далее: q2 - последующее значение плотности по­тока,

qi - предыдущее. С учетом этого (см. п. i.4) qi - q2 = -dq. В итоге

(cp) dVdT = [-dqxdydz - dqydxdz - dqzdxdy] dz + WdVdz .

Возможна и другая запись последнего выражения

Дифференциальные уравнения теплопроводности в декартовой системе координат (1.4) - (1.6) удобно использовать в тех случаях, когда тело имеет форму параллелепипеда, куба, призмы прямо­угольного или квадратного сечения, неограниченной пластины (плоской стенки), толщина которой весьма мала по сравнению с другими размерами.

Для тел цилиндрической формы эти уравнения более удобно использовать в цилиндрической системе координат х = r cosy, у = r sin у (рис. 1.1), которые характеризуются осью z, радиусом r и углом поворота

у. Используя правила дифференцирования сложных функций, можно получить

Уравнение (1.7) называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье в цилинд­рической системе координат. В теплофизике и теплотехнике оно часто встречается в одномерной форме - дифференциальные уравнения Фурье, Пуассона и Лапласа:

Дифференциальные уравнения (1.7) и (1.8) удобно использовать в тех случаях, когда тело имеет форму (или близко к форме) цилиндра конечных размеров, диска конечных размеров, бесконечного ци­линдра (тело, длина которого весьма велика по сравнению с диаметром).

Для тел шаровой формы дифференциальное уравнение теплопроводности более удобно исполь­зовать в сферической системе координат:

Если тело жидкое, то элементарный объем движется в пространстве большого объема, принимая температуру той точки, в которой оказывается. Если бы объем задержался в какой-нибудь точке, то его температура все равно изменялась бы, так как температура всего объема меняется во времени. Таким образом, причинами изменения температуры элементарного объема являются его перемещение между точками с разной температурой и его нахождение в большом объеме, температура которого меняется во времени, а объем может нагреваться или охлаждаться. Общее изменение температуры 1Т складывается как сумма

(1.10)

На рис. 1.6 показаны два различных пути движения элементарного параллелепипеда от точки 1 к точке 2 и в любом случае ds = dx + dy + dz. Если бы оба пути были пройдены за одно и то же время dx, то тогда

имело бы место естественное равенство 1Тп = dTs. Поэтому 1Тп = dTx + dTy + dTz и после подстановки в (1.10) получаем

dT = dTT + dTx + dTy + dTz = DTdz + ^-^dx + DTdy + DTdz ■

дт       Dx       ду Dz

- dz

дТ + dx дТ + dy дТ + dz дТ дт    dz Dx    dz ду   dz Dz

Подпись: dn dzСкорость перемещения элементарного объема dV жидкого тела может быть выражена как ш:

dx

Поэтому соотношение — = шx есть составляющая скорости элементарного объема dV в направлении

dz

Дифференциальное уравнение (1.12) для движущегося элемента жидкости носит название Фу­рье-Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями темпе­ратуры в любой точке движущейся среды.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я