5.2. ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ

Теория подобия - это теория моделирования или учение о подобных явлениях. Сущность теории подобия состоит в создании модели «заместителя» того или иного явления. Существует геометриче­ское, механическое, тепловое подобие. В основе теории подобия лежат несколько теорем.

Первая теорема подобия (теорема Ньютона). В подобных явлениях критерии подобия одинаковы (равны).

Особенность теплового подобия процессов теплоотдачи состоит в том, что числа Нуссельта, со­ставленные для образца и модели (помечено *), численно равны: —=  * * = Nu, где а и а* - соответст-

— X*

венно коэффициенты теплоотдачи для образца и модели; X и X* - коэффициенты теплопроводности жидкостей; 1 и 1* - сходственные геометрические отрезки.

Практический выход теплового подобия: зная число Нуссельта Nu из опыта на модели и не произ­водя непосредственных измерений а в системе оригинала, можно определить коэффициент теплоотда­чи:

а = -Nu. (5.2)

1

Особенность подобия нестационарных температурных полей в твердых телах состоит в том, что при соблюдении равенства сходственных точек пространства и в сходственные отрезки времени имеет­ся равенство критериев температуры.

Сходственными точками в двух системах называются такие, для которых существуют соотношения:

х* х у* У гл ~ — = —; ^— = —. Сходственными отрезками времени называются такие, по истечении которых в первой

R*    R    R* R

и второй системах происходят подобные явления. Если

T* _ T*,    T _ Т* п

— = — = X   и —2~ = — = Fo,  то            — =                 = 0.

R*   R            R*     R         Т00* _ Т**   Т00 _ Т

Практический выход подобия нестационарных температурных полей в твердых телах: зная Х, Fo, 9 из опыта на модели, можно определить

х = RX,    т = —Fo,    Т = Тс + (То - Тс) 9, a

не производя непосредственных измерений Т в системе оригинала. Вторая теорема подобия (теорема Бэкингема). Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия данного явления. Зависимости между физическими параметрами, характеризующими какое-либо явление, могут быть представлены методами масштабных преобразований, анализа размерностей или др.

1. Метод масштабных преобразований. При определении критериев подобия методом масштаб­ных преобразований необходимо выполнить два главных условия: описать изучаемое явление матема­тически в виде системы дифференциальных уравнений и привести всю систему дифференциальных уравнений к безразмерной форме. Пусть физический процесс описывается системой дифференциальных уравнений

которые называются уравнениями связи между масштабами.

В качестве масштабов обычно выбираются постоянные параметры, относящиеся к изучаемому яв­лению. Пусть

а интеграл системы дифференциальных уравнений: 0 = f (Х ;Fо;Bi).

Вторая теорема подобия и метод масштабных преобразований используются для получения чисел (критериев) подобия, характерных для процессов теплообмена между жидкостью и твердой стенкой.

2. Метод анализа размерностей. Метод масштабных преобразований требует, чтобы явление бы­ло описано математически. Но иногда приходится исследовать настолько малоизученные явления, что для их математического описания просто не созрели условия. Исследователю не приходится распола­гать системой дифференциальных уравнений процесса. Однако задолго до того, как возникает возмож­ность описать явление математически, бывают изучены и определены присущие ему физические пара­метры.

При определении чисел (критериев) подобия методом анализа размерностей явление характеризу­ется следующими физическими параметрами: 3, х, т, X, а, а, R, 30. В дальнейшем предлагается перечис­ленные физические параметры рассматривать в долях соответствующих постоянных масштабов

Далее должно быть выполнено условие: масштабы, помеченные звездочкой, выбираются таким об­разом, чтобы безразмерных физических параметров осталось так мало, как только это возможно. В дан­ном примере следует принять 3* = 30; х* = R; -* = X; а* = а.

С учетом этого выражения (5.4) будут иметь вид,

Согласно «п»-теоремы, число критериев подобия, характерных для данного явления, равно разно­сти общего числа физических параметров (в рассматриваемом примере их 8) и числа независимых раз­мерностей (их 4). При этом число критериев комплексов равно разности числа физических параметров с неодинаковыми размерностями (в рассматриваемом примере их 6) и числа независимых размерно­стей (их 4). Остальные критерии являются критериями симплексами.

Третья теорема подобия (теорема Кирпичева и Гухмана). Необходимым и достаточным условием подобия физических явлений является подобие условий однозначности (заданных условий) при равенст­ве критериев, составленных из условий однозначности. Более конкретно смысл третьей теоремы подо­бия формулируется так.

Подобные явления происходят в геометрически подобных системах и описываются подобными уравнениями.

Для теплового подобия необходимо наличие физического подобия движения жидкостей.

При указанных условиях подобны те явления, для которых подобны условия однозначности, а критерии, составленные из условий однозначности, численно равны.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я