4.2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ ПРИ КОНВЕКТИВНОМ ОХЛАЖДЕНИИ

Пластина, равномерно нагретая до температуры Т0 (рис. 4.1), в момент времени т = 0 помещается в среду с температурой Тс и охлаждается одинаковым образом с обеих сторон путем теплоотдачи с коэф­фициентом а. Математически такой процесс описывается следующими уравнениями.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

 (4.8)

Уравнения (4.6) - (4.8) называются также краевыми условиями, или условиями однозначности. Они описывают физическую картину в начале процесса и на границах тела, благодаря чему в общем реше­нии дифференциального уравнения теплопроводности находятся константы D, B, k и решение становит­ся конкретным.

Решение уравнений (4.5) - (4.8) оказывается более удобным, если ввести новую переменную $ = T

Дифференциальное уравнение (4.9) аналогично (4.1), поэтому его общее решение будет

$ = D cos (kx)e-а]і2т + B sin (kx)e-а]і'т. Подстановка общего решения в условия симметрии (4.10) дает B = 0. Следовательно,

$ = D cos (kx)e-Л2т.

Последнее выражение при подстановке в граничное условие (4.11) приводит к характеристическому

уравнению

Для определения константы D необходимо использовать начальное условие (4.12) и свойство орто­гональных функций.

После умножения на cos ц( — и интегрирования в пределах от -R до +R:

Действуя точно таким же способом с индексами 2, 3, ..., n, можно найти D2, D3, Dn. Окончатель­но имеем

Значение температурного поля позволяет определить удельный тепловой поток на поверхности как

1          A,,       T> t—l

и среднюю температуру тела в любой момент времени

Для бесконечного цилиндра температурное поле находится аналогичным математическим методом:

0 = X    r t2(2Jl)(+n)/2(   )] J0lr) e-*". (4.14)

При этом дискретные ц„ числа определяются из характеристического уравнения

Безразмерный комплекс Bi =aR, входящий в структуру уравнений для определения дискретных

X

чисел (критерий Био), характеризует теплообмен на границе тела и теоретически может принимать зна­чения от нуля до бесконечности. Обычными значениями этого критерия характеризуются граничные условия третьего рода, когда заданы закон теплообмена и температура окружающей среды. При Bi — оо имеет место 4 — Тс. Граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода, когда вместо закона теплообмена задается температура на поверхности тела. В этом случае характери­стические уравнения для пластины и цилиндра, соответственно, cosц = 0; J0 (ц ) = 0, а решения (4.13) и (4.14) примут форму, соответственно:Для практических инженерных расчетов на рис. 4.2 - 4.5 приведены номограммы для определения температуры в центре и на поверхности пластины и цилиндра при заданных значениях Fo и Bi.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я