4.1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Явление нестационарного распространения теплоты в одномерном пространстве твердого тела опи­сывается дифференциальным уравнением

Любая функция Т = f (х, т) будет решением этого уравнения, если при подстановке в него она дает тождество. Пусть Т = U (т) V (х). Тогда

ддТ = U '(t)V(x);    dL = и (x)V'(x).

После подстановки в дифференциальное уравнение получается

V(x)U' (т) = aV'(x) U(t)

или

aU (т)    V (x) '

Переменные т и х являются независимыми друг от друга аргументами. Это означает, что параметр к2 может быть только постоянным. Тогда дифференциальное уравнение в частных производных (4.1) можно представить в виде системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

U' (т) + ak 2U (т) = 0; [v '' (x) + к 2V (x) = 0,

которые будут иметь решения, соответственно:

U(т) = C( e-ak2т    и    V(x) = C2e-kx + C3e+lkx . Учитывая известные соотношения

e-kx = cos kx - i sin kx,    e+lkx = cos kx + i sin kx, можно записать V (x) = C4cos kx + C5sin kx . Тогда

Т = D cos (kx)e-ak 2т + B sin (kx)e'ak^т

(4.2)

есть общее решение дифференциального уравнения теплопроводности (4.1), а постоянные D, B, k опре­деляются при более конкретной постановке задачи.

Если явление распространения теплоты описывается дифференциальным уравнением в цилиндри­ческой системе координат

где J0(kx) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка; J((kr) - функция Бесселя первого рода первого порядка.

Если явление распространения теплоты описывается дифференциальным уравнением в сфериче­ской системе координат

дТ

д2Т   2 дT

2    r дr

то подстановкой Z= (rT) его можно свести к уравнению -д^ = ад-^2-, решение которого уже известно.

дт дr


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я