3.4. ТЕПЛОФИЗИКА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Для большинства веществ зависимость коэффициента теплопроводности от температуры доста­точно слабая, что позволяет его усреднять в заданном интервале температур и оперировать им как постоянным значением. Однако для некоторых материалов и веществ наблюдается некоторая зави­симость коэффициента теплопроводности от температуры.

Для плоской стенки при стационарном тепловом режиме количество теплоты, проникающее внутрь параллелепипеда (а также выделяемое внутри его объема), всегда равно количеству теплоты, уходящему вовне (рис. 3.4, а, б):

dQA +      = dQB    или    -(dQB - dQA) +      = 0.

Уравнение теплового баланса для плоской стенки можно переписать:

-     - qa)dzdy + Wdxdydz = 0

или

dq + W = 0; dx

d (- X dT) + W = 0. dx V     dx J

Если ввести подстановку

в итоге получим

dx dx

^ ^) + W = 0; ^ + W = 0. dx V dx J dx

Это дифференциальное уравнение известно как одномерное уравнение Пуассона, где в качестве по­тенциала фигурирует параметр Ф.

d 2Ф

В частном случае при W = 0 уравнение Пуассона вырождается в уравнение Лапласа —— = 0, а его

dx2

решение имеет вид

Подпись: I
T

і

в) г)

Рис. 3.4. Теплофизическая система плоской (а) и цилиндрической стенки (в), а также основные измерения элементарного объема параллелепипеда в декартовой системе координат (б) и элементарного объема

в цилиндрической системе координат (г) При линейной зависимости X = в + kT температурное поле находится после решения квадратичного уравнения

Для цилиндрической стенки (рис. 3.4, в, г) при стационарном тепловом режиме количество теплоты, проникающее внутрь элементарного объема через поверхность dSA dz (а также выделяемое внутри его), должно быть равным количеству теплоты, уходящему вовне через поверхность dSB dz :

+       =         или    - (dQB -      ) +       = 0.

Уравнение теплового баланса можно переписать как

Последнее выражение известно как одномерное уравнение Пуассона в цилиндрических координа­тах, в котором в качестве потенциала фигурирует параметр ф.

В частном случае при W = 0 оно переходит в уравнение Лапласа

При экспериментальной зависимости X = bekT температурное поле и количество теплоты находятся после логарифмирования последнего уравнения


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я