2.3. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИИ

Итерация - повторение математической операции. Метод итерации или метод последовательных приближений используется для решения задач стационарной теплопроводности в телах сложной кон­фигурации, когда при расчете температурного поля дифференциальное уравнение теплопроводности не поддается аналитическому решению.

Математическое обоснование метода сводится к составлению системы уравнений (N) с неизвест­ными х1, х2, хп:

[ х1 = A1 + B1x1 + C1 х2 +... + D1xn;

Х2 = A2 + B2 Х1 + C2 Х2 + ••• + D2 Хп;

(N )

Хп = Ап + BnX1 + CnX2 + ^ + DnXn ,

которые могут быть легко найдены путем итерационных действий, если соблюдаются неравенства (М):

(M)

\ B1 + C1 +... + D1 < 1; B2 + C2 +... + D2 < 1;

Bn + Cn +... + Dn < 1.

Вначале задают наиболее вероятные значения х10, х20, ..., хп0 (нулевая итерация), после чего произ­водят их подстановку в правую сторону системы (N). Слева находят х11, х21, ..., хп1 (первая итерация). Результаты первой итерации подставляют в правую сторону системы (N). Слева находят х12, х22, ..., хп2 (вторая итерация). Результаты второй итерации снова подставляют в правую часть системы (N) и т.д.

Итерационные действия могут быть приостановлены после того, как проявят себя следующие при­знаки:

значения расчетов последующей итерации незначительно отличаются от предыдущей итерации, что является необходимым, но недостаточным признаком завершения расчета;

в системе уравнений (N) соблюдается тождество, что является вполне достаточным признаком завершения расчетов.

Применительно к процессам теплопроводности метод последовательных приближений (метод ите­раций) интерпретируется так:

сечение тела разбивается итерационной решеткой на отдельные ячейки, как в методе релаксации (рис. 2.5);

все точки пересечения нумеруются по порядку;

составляется тепловой баланс для всех узловых точек в предположении, что весь процесс тепло­проводности концентрируется в стержнях получившейся итерационной решетки;

уравнение баланса теплоты преобразовывается так, чтобы неизвестные температуры вошли в систе­му уравнений, аналогичную (N).

В качестве примера для расчета расхода теплоты методом итераций выберем кладку квадратного се­чения, общий вид и расчетный участок которого приведен на рис. 2.5. Ввиду симметрии уравнение тепло­вого баланса необходимо составить для точек a, b, c, как в методе релаксации:

Qea + Qba + Q323a + Q323a = 2Qba + 2Q323a = 0 ; Qab + Qcb + Q323b + Q723b = 0; Qbc + Qdc + Q323c + Q723c = 0.

С учетом (2.1)

2XL(Tb -Ta) + 2XL(323-Ta) = 0;

XL (Ta - Tb ) + XL (Tc - Tb )+ XL (323 - Tb )+ XL (723 - Tb ) = 0;

XL (Tb - Tc) + XL (Td - Tc) + XL (323 - Tc) + XL (723 - Tc) = 0.

Так как Td = Tc, то XL (Td - Tc ) = 0, и уравнение с тремя неизвестными приводится к форме (N) - рас­четной системе методом итераций:

Ta = 161,5 + 0,5Tb;

Tb = 261,5 + 0,25 Ta + 0,25 Tc;

Tc = 348,5 + 0,333Tb. Затем последовательно выполняются итерации: •  нулевая итерация:

Ta0 = 523 К;   Tb0 = 523 К;   To = 523 К;

•  первая итерация:

Ta1 = 161,5 + 0,5 • 523 = 423 К; Tb1 = 261,5 + 0,25 • 523 + 0,25 • 523 = 522,5 К;

Td = 348,5 + 0,333 • 523 = 522,5 К;

•  вторая итерация:

Ta2 = 161,5 + 0,5 • 522,5 = 424 К; Tb2 = 261,5 + 0,25 • 423 + 0,25 • 522 = 498,5 К; Tc2 = 348,5 + 0,333 • 522,5 = 523 К.

Аналогично вычисляют итерации до требуемой точности:

шестая итерация:

Ta6 = 407,5 К;   Tb6 = 491,5 К;   Tc6 = 512,5 К;

седьмая итерация:

Ta7 = 406,5 К;   Tb7 = 491,5 К;  Tc7 = 512,5 К.

Расчет расхода теплоты проводят из условия, что от внутренней поверхности кладки к средней плоскости теплота приходит по двум стержням b и с:

Q1 = Qb + Q'c= XL (723 - 491,5) + XL (723 - 512,5) = 442XL .

Это же количество теплоты за то же время уходит от средней плоскости к внешней поверхности кладки по трем стержням а, d и с:

Q2 = Q"a+ Qb + Q'c= XL (406,5 - 323) +

+ XL (491,5 - 323) + XL (512,5 - 323) = 441,5XL.

В среднем через одну восьмую часть кладки тепловой поток:

Qср = 0,5 (Q1 + Q2) = 442,5XL, Вт. Полный тепловой поток через кладку:

Qобщ = 8Qср = 3540AL, Вт.

Все эти математические расчеты не представляют сложности и легко выполняются в программе Ex­cel или других аналогичных программах ЭВМ.

2.4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

Метод графического изображения теплового потока применяется для определения теплового пото­ка, проходящего через тела сложной конфигурации. Обычно такой расчет носит приближенный харак­тер, и основным требованием является быстрота расчета и равнозначность подхода при оценке каждой рассматриваемой схемы. В качестве исходной предпосылки здесь используется известное положение о том, что независимо от конфигурации системы количество передаваемой теплоты определяется совер­шенно одинаковым образом:

Q, = 4гXL(T -T2),

(2.3)

где 'tj - фактор формы тела или параметр, имеющий нулевую размерность и определяемый только кон­фигурацией и геометрией сечения тела, через которое передается тепловая энергия; X - коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м • К); L - глубина объекта, м; Т и Т2 - температуры на границах се­чения, К.

Нахождение фактора формы тела, по существу, завершает решение вопроса по определению теплово­го потока, проходящего через тело. Если воспользоваться основным законом теплопроводности, то для тел различной конфигурации количество теплоты

dQ. = -X—LdS = -—L X dST±-T±
dn        dn        T - T2

а полный тепловой поток, проходящий через тело любой конфигурации:

Сравнивая последнее выражение с формулой (2.3), можно заключить, что аналитическое выражение фактора формы связано с интегрированием:

T - T2 J dn

Ранее, на основе строгого решения дифференциального уравнения теплопроводности, были полу­чены функции распределения температуры по толщине плоской и цилиндрической стенок:

r = T - T—^ n ;    ^ = -T±-Tt2- ;    dS = dn ;
о          dn о

in a.  1    dn    in r± n

Следовательно, для плоской и цилиндрической стенок:

(2.4)

1     2п 2п

in — о       in —

Для тел сложного профиля определение фактора формы аналитическим путем не представляется возможным. Остаются приближенные способы, среди которых наибольшее распространение получил метод графического изображения теплового потока. Идею графического определения фактора формы тела целесообразно иллюстрировать на примере плоской и цилиндрической стенок (рис. 2.6).

а) б)

Рис. 2.6. Общая картина распространения теплоты в плоской (а) и цилиндрической (б) стенках Линии тока теплоты, показанные пунктиром на рис. 2.6, образуют трубки тока теплоты. Размеры и форма трубок тока должны быть выдержаны так, чтобы через каждую трубку тока проходило одинако­вое количество теплоты AQ,- :

Щ = Nr, (2.6)

m

где Qi - полное количество теплоты, проходящее через стенку в единицу времени; Nm - число трубок тока, через каждую из которых проходит одинаковое количество теплоты.

Выполнение условия возлагается на субъективные ощущения самого исполнителя и следует ожи­дать, что интуитивное выполнение этого требования внесет некоторый элемент ошибки. Сплошными линиями изображаются изотермы и их наносят с таким расчетом, чтобы приросты температуры между каждыми двумя изотермами были одинаковыми:

T -T

AT- =-tinttl , (2.7)

n

где (Ti - T2) - полный перепад температур; Nn - число приростов температур.

Выполняя условие (2.7), необходимо соблюдать закон ортогональности между изотермами и ли­ниями тока тепла, т.е. при своем пересечении они должны образовывать прямолинейные или криволи­нейные квадраты. Естественно ожидать, что графическое выполнение ортогональности и криволиней­ных квадратов внесет некоторый элемент ошибки. Действительно,

где X, L - постоянные параметры системы; AQ, - постоянное количество теплоты, в соответствии с предварительным условием (2.6).

Если теперь принять J А^ ] = f (n) = 1, то обеспечивается AT = const и

{An J

AQ, =-XL(AT) . (2.8) Выполняя подстановку (2.7) и (2.8) в выражение (2.6), рассчитывается полное количество переда­ваемой теплоты в единицу времени через тело сложной конфигурации

Qi = Nlxl(Ti -T2). (2.9)

n

Из сопоставления (2.3) и (2.9) следует, что фактор формы любого тела определяется как отношение числа трубок тока к числу приростов температуры:

т

v Nn J

(2.10)

Причем для пластин в соответствии с рис. 2.6, а и формулой (2.4)

£ =—— = — = 2'     £ = — = 2 Цп    Nn    4     '     Цп    5 '

Для цилиндра в соответствии с рис. 2.6, б и формулой (2.5)

£ц = Nm =16 = 5,зз;    £ц =^ = 5,7.

r1

Таким образом, метод графического изображения теплового потока заключается в следующем:

в масштабе изображается исследуемое сечение;

от руки зарисовываются линии теплового потока с максимально возможным соблюдением усло­вия (2.6);

от руки зарисовываются изотермические линии с максимально возможным соблюдением орто­гональности и криволинейных квадратов;

фактор формы тела определяется как отношение (2.10);

температурное поле рассчитывается путем вычитания от Т1 или путем прибавления к Т2 соответ­ствующего числа одинаковых приростов температуры АТ;

тепловой поток рассчитывается в соответствии с (2.9).


ный участок кладки квадратного се­чения по методу графиче­ского изображения теплового потока: N— = 8, Nn = 8, (Т - Т2) = 400 К

Ввиду симметрии графические построения достаточно выполнить для восьмой части кладки квад­ратного сечения. Число трубок тока     Nm = 8. Число приростов температур Nn = 8. Полный перепад тем-

Температуры Та, Ть и Тс рассчитываются путем вычитания от Т1 или путем прибавления к Т2 соот­ветствующего числа прироста температуры АТ:

Ta = Т - 6,2АТ = 723 - 6,2 • 50 = 413 К; Tb = Т - 4,8АТ = 723 - 4,8 • 50 = 483 К; Tc = Т - 4,2АТ = 723 - 4,2 • 50 = 513 К. В среднем через одну восьмую часть кладки проходит

бср = tlL(Т -Т2) = 1 • XL(723 -323) = 440AZ, Вт.

Полный тепловой поток расчетного участка кладки

бобщ = 8£ср = 3520AL, Вт. 2.5. ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ АНАЛОГИЯ

Известно, что распространение теплоты и электричества описывается совершенно аналогичными по форме дифференциальными уравнениями, в силу чего они решаются с одинаковой степенью трудности. Однако экспериментальное определение поля электрического потенциала гораздо проще, а электротеп­ловая аналогия используется для определения тепловых потоков в телах сложной формы (рис. 2.8).

Распространение теплоты в двухмерном пространстве описывается дифференциальным уравнением Лапласа:

Количество теплоты, проходящей через элементарную площадку:

dQ = -X—dsL    или     dQ = -^^ — dsL—1      

дп        дп        і T - Т2

х

х

Рис. 2.8. Сечение тела сложной формы:

1-1 и 2-2 - контуры тела

сложной конфигура­ции, где установлены

медные шины с электрическим по­тенциалом; L - глубина тела

Если обозначить N = —, S = —, то dQ =   dSXL(T -T2),

I        l          dN       Vl 2h

откуда

 (2.13)

Распространение электричества в двух измерениях также описывается дифференциальным уравне­нием Лапласа

d2U   d2U .

—г + —г = 0,

dr2 dy2

а количество электричества, проходящего через элементарную площадь,

dJ = -ЭdUUdSL . dn

Действуя точно таким же образом, можно получить

Предполагается абсолютное геометрическое подобие тепловой и электрической систем (N = N,; Sт

= Sэ; Хт = Хэ;    = Y.,) и если

Q = U, то из выражений (2.13) и (2.15) следует £т = £э. Равенство теплового и электрических потенциа­лов в их безразмерной форме вытекает из аналогии дифференциальных уравнений (2.12) и (2.14), для которых общие решения должны описываться функциями одного и того же вида:

0 = f (X, Y, C, D);    U = f (X ,Y, E, M).

(2.16)

Согласно (2.11) и (2.12) для тепловой схемы и контуров тела, обозначенных номером 1 и 2:

01 = f(Xx,Yx, С, D)= 1;    02 = f (X2,Y2, C, D) = 0.

То же для электрической схемы с учетом (2.16):

U = f (Xl,Yl, E, M )= 1,    U2 = f (X2Y2, E, M ) = 0.

Все эти уравнения позволяют доказать равенство констант интегрирования (С = е; d = м), а следо-

вательно, и равенство безразмерных потенциалов 0 = U. Таким образом £т = £э = £.

Для технического выполнения метода электротепловой аналогии и определения теплового потока, проходящего через тело сложной конфигурации, требуется следующее.

Из электропроводной бумаги вырезают образец в виде прямоугольника и модель-сечение, подоб­ное исследуемому тепловому оригиналу (например, как на рис. 2.8). Электропроводную бумагу берут из одной выпущенной партии для соблюдения электропроводности и толщины бумаги. Геометрическая конфигурация электрической модели должна быть выполнена в строгом соответствии с геометрической конфигурацией образца без каких-либо излишеств.

По контурам электропроводной бумаги для модели и прямоугольника равномерно и достаточно плотно (для обеспечения контакта) устанавливают медные шины с электрическим потенциалом.

Вначале определяется фактор формы £п электропроводной бумаги прямоугольной формы путем измерения линейкой ее геометрических параметров (размеров) - высоты h и ширины 8. Фактор формы

определяется как отношение £п = h / 8.

Замеряют показание потенциала U1 при постоянном значении напряжения в системе (при ней­тральном положении тумблера).

Замеряют значения тока J, напряжения U на прямоугольнике (при правом положении тумблера) и

вычисляют (ЭЬэ) =   —        .

Замеряют значения тока J, напряжения U на модели (при левом положении тумблера) и вычис-

т р        Jмод

^мод~Р4)(иі - и2мод) •

Тепловой поток через тело-оригинал (т) от контура Т1 до контура Т2 находится простым расче-

том:

Q = UA 4 (ті - т2), Вт.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я