2.2. РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ МЕТОДОМ РЕЛАКСАЦИИ

Релаксация - процесс установления термодинамического равновесия или восстановления неустой­чивого положения в физической системе. Метод релаксации используется для решения задач стацио­нарной теплопроводности в телах сложной конфигурации, когда при расчете температурного поля диф­ференциальное уравнение теплопроводности не поддается аналитическому решению.

Расчет температурного поля методом релаксации удобно иллюстрировать на примере, когда тепло­та распространяется в двух измерениях. Сечение тела (рис. 2.3 и 2.4) обычно разбивается релаксацион­ной решеткой на ячейки квадратной формы (Ах = Ду). Тело имеет глубину L и коэффициент теплопро­водности X.

В дальнейшем допускается следующее:

процесс теплопроводности концентрируется в стержнях релаксационной решетки, и чем меньше будут размеры ячейки, тем выше точность вычислений, но количество расчетов при этом увеличится;

по каждому стержню релаксационной решетки передается в точности такое же количество теп­лоты, которое в действительности передается через элемент с размерами Ах и Ау;

в качестве расчетного соотношения может быть использована формула расчета теплого потока через плоскую стенку:

Qk = \f(Т -тк),

о

Рис. 2.4. Вид сбоку на ячейку релакса­ции


где i - отмечает наибольшее значение температуры; к - отмечает наименьшее значение температуры.

Приняв эти допущения, можно рассчитать количество теплоты, которое протекает по каждому стержню:

•  для горизонтального стержня 8 = Ах, F = AyL

Ax

для вертикального стержня 8 = Ay, F = AxL

Qk       AxL (T - Tk); Ay

для любого стержня

Qk = XL (Ti - Tk). (2.1)

При этом могут иметь место различные схемы подвода и прохождения теплоты через ячейку релак­сации.

Теплота идет от точки 1 к узловой точке 0, а от точки 0 расходится в направлении точек 2, 3, 4. Уравнение баланса теплоты имеет вид Q10 = Q02 + Q03 + Q04 . Согласно (2.1)

XL    - T0 ) = XL (T - T2) + XL (T - T3) + XL (T - T4),

откуда 70 = (7 + 72 + У, + 70/4.

Теплота идет от точек 1 и 2 к точке 0, а от точки 0 расходится к точкам 3 и 4. Уравнение баланса имеет вид Q10 + Q20 = Q03 + Q04, или

XL((1 -T0) + XLT2 -T0)= XL(T -T3) + XL(T -T4),

откуда 70 = (71 + 72 + 73 + 70/4.

Теплота идет от точек 1.. .4 к точке 0 и там взаимно уничтожается. Уравнение баланса тепла имеет

XL(( -T0) + XL(T2 -T0) + XL(T3 -T0) + XL(T4 -T0) = 0,
откуда 70 = (71 + 72 + 7? + 70/4.

Следовательно, какова бы ни была схема прохождения теплоты, температура в узловой точке квад­ратной релаксационной ячейки всегда будет равна среднему арифметическому значению из температур, окружающих эту точку.

Для каждой узловой точки релаксационной решетки существует закон релаксации:

AP = T + T2 + T + 74 - T0 = 0. (2.2)

Принцип релаксации заключается в следующем:

Тело сложной конфигурации разбивается на релаксационную решетку. Исходя из предваритель­ного объема знаний, приближенно задают значения температур в узлах решетки.

Эти приближения проверяются от точки к точке в соответствии с требованием закона релаксации и устанавливают точки, в которых наблюдается наибольшее отклонение от закона релаксации (2.2).

Начиная с мест (точек) наибольшего отклонения, вносятся поправки A, чтобы удовлетворить за­кону релаксации.

Эти исправления в свою очередь вызывают новые отклонения в соседних точках решетки, и воз­никает необходимость в повторной коррекции.

Повторная коррекция вносится каждый раз последовательно в порядке убывающих отклонений и производится до тех пор, пока численные значения температур во всех точках сетки не придут во взаимное соответствие, т.е. везде будет соблюдаться закон релаксации.


В качестве примера для расчета температурного поля и потока теплоты методом релаксации выбе­рем кладку квадратного сечения, общий вид и расчетный участок которого приведены на рис. 2.5.

Максимальная температура (723 К) одинакова по всей внутренней поверхности кладки, а мини­мальная (323) - по всей внешней.

Наружные размеры сечения кладки 7Ax = 7Ay, а внутренние - 3Ax = 3Ay; глубина кладки L >> 7Ax = 7Ay.

В силу симметрии достаточно определить температуры в точках а, b, с (7а, 7b, 7с); причем в точ­ках е и d: 7е = 7b, а 7d = 7с.

Для предварительного первого расчета целесообразно температуру в точках а, b, с сечения клад­ки, принять одинаковой, т.е. средней между минимальным и максимальным значением в системе

70а = 70b = 70с = (723 + 323) = 523 К.

Тогда в соответствии с законом релаксации (2.2) имеем:

АРа = (7е + 7ь + 323 + 323)/4 -     = 2(7ь + 323)/4 - 70а;

АРь = (723 + 7с + 323 + 7а)/4 - 70ь;

АРс = (723 + 7d + 323 + 7ь)/4 - 70с = (723 + 323 + 27ь)/4 - 70с.

Ход каждой операции рационально заносить в табл. 2.1.

Устанавливают точки, в которых наблюдается наибольшее отклонение по абсолютному значению от закона релаксации: в данном случае это точка а, где АРа = -100 К.

2.1. Расчет температурного поля методом релаксации

 

A

b

c

к

АРа

Tab, к

АРь

T)c к

АРс

523

-100

523

0

523

0

423

0

523

-25

523

0

423

-13

498

0

523

-6

410

0

498

-3

523

-6

410

0

498

-5

517

0

410

-2

493

0

517

-3

410

-2

493

-0,5

514

0

408

0

493

-1

514

0

Во втором расчете в точке наибольшего отклонения вносится поправка АР с соответствующим знаком, в результате чего температура в этой точке изменяется:

70а = 523 - 100 = 423 К.

В остальных точках второго расчета температура оставляется прежней, из предыдущего расчета 70b = 523 К, 70с = 523 К.

И вновь, во втором приближении, подсчитывается АРа, АРь, АРс, в соответствии с законом релакса­ции (см. п. 5).

Последующие коррекции производятся до тех пор, пока численные значения температур во всех точках сетки не придут во взаимное соответствие до требуемой погрешности (в данном случае до 1 К).

Выявляются стержни, которые подходят к границе тела или к границе сечения. Количество теп­лоты, проходящее в единицу времени через каждый стержень, определится по формуле (2.1). Суммируя все эти потоки теплоты, определяется общий Q^n,.

В силу симметрии тепловой поток Q достаточно определить через одну восьмую часть кладки, а за­тем определить и общий поток Q^n,.

В рассматриваемом примере расчет теплового потока Q (Вт) определяется из условия, что от внут­ренней поверхности кладки к средней плоскости теплота приходит по двум стержням b и с:

Q1 = Qb + QC = XL (723 - 493) + XL (723 - 514) = 439XL .

Это же количество теплоты за то же время уходит от средней плоскости к внешней поверхности кладки по трем стержням а, d и с:

Q2 = Q> Qb + QC = XL (408 - 323) +

+ XL (493 - 323) + XL (514 - 323) = 446XL.

Некоторое расхождение в определении теплового потока Q1 и Q2 объясняется несколько крупной ячейкой релаксационной решетки. В среднем через одну восьмую часть кладки проходит тепловой по­ток:

Qср = 0,5 Q + Q2) = 442,5XL, Вт. Полный тепловой поток через кладку:

Qобщ = 8Qср = 3540XL, Вт.

Все эти математические расчеты не представляют сложности и легко выполняются в программе Ex­cel или других аналогичных программах ЭВМ.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я