1.6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ШАРОВОЙ СТЕНКИ И ТЕЛ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

Рассмотрим полый шар из однородного материала с внутренним радиусом r1 и внешним r2, с коэф­фициентом теплопроводности X. Температуры внутренней и внешней поверхностей шара соответствен­но равны Т1 и Т2, причем Т1 > Т2. Изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности.

Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен:

Q = -XF          = -4\%r2          .

dr dr

Разделив переменные, получим:

dT=--Я-*

4%X r

После интегрирования этого уравнения имеем:

Q 1 ~ ^  - + С

4лА, r

Подставляя в последнее выражение значения переменных величин на границах стенки шара (при r = ri, Т = Ті и при r = r2, Т = Т2) и исключая постоянную С, получаем расчетную формулу для определе­ния плотности теплового потока в шаре:

q = 4л7(Ті - Т2) =   2nlAT   = did2 = і/ri - і/r2  " і/di - і/d2 = П       5 ,

где 5 = d - d2)/2 - толщина стенки шара.

Распределение температуры в шаре имеет вид уравнения гиперболы:

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различ­ных тел, например бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубо­проводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких слож­ных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями парал­лельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения эле­ментов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового по­тока может оказаться неожиданным.

Поэтому в телах неправильной формы расчет теплопроводности можно охватить одной формулой:

Q = | Fx AT, 5

где Fx - расчетная поверхность тела.

В зависимости от геометрической формы тела Fx определяется различно. Если F1 - внутренняя, F2 -внешняя поверхности тела, то:

а) для плоской, цилиндрической шаровой стенки при F2/F1 < 2

б) для цилиндрической стенки при F2/F1 > 2

Fx

F 2-F ln F

в) для шаровой стенки при F2/F1 > 2

Fx=VFFT.

Преимущество этих формул заключается в том, что по ним можно приближенно рассчитать тепло­проводность тел неправильной геометрической формы, например плоской стенки, у которой F1 Ф F2; любых цилиндрических сечений, ограниченных плавными кривыми; замкнутых тел, у которых все три линейных размера близки между собой.

Однако, указанный способ расчета объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно рас­четы сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и ли­ний тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электротепловой аналогии.

В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирова­ния дифференциального уравнения теплопроводности для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо использование ЭВМ.

Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного опыта, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели. При выводе расчетных формул принималось, что температуры поверхностей тела постоянны. В практи­ческих расчетах это условие не всегда удовлетворяется. В таких случаях поступают следующим обра­зом. Если в отдельных точках поверхности температура разнится не сильно, то производят усреднение температур по поверхности, и с этой средней температурой расчет производится, как с постоянной. Ос­реднение температуры по поверхности определяется либо путем интегрирования

либо по формуле:

Т

_TF + Т 2 F2 +... + TnFn

F + F2 + ... + Fn

где F1; F2,Fn - отдельные участки поверхности с постоянной температурой; Ть Т2, Tn - температу­ры этих участков.

Если же температура по поверхности изменяется резко, то такой приближенный путь расчета может приводить к заметным погрешностям. В этом случае необходим более сложный расчет, связанный с ин­тегрированием дифференциального уравнения теплопроводности, либо непосредственный опытный эксперимент.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я