1.5. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ

РАССМОТРИМ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ С ВНУТРЕННИМ R И НАРУЖНЫМ R2 РАДИУСАМИ И КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ X (РИС. 1.9).

Подпись: 	—1	
і і	X	
	1		
L			
			
	і r1		
			r
	0 !
L r2	
1

Рис. 1.9. Расположение ко­ординат

цилиндрической стенки:

r1 и r2 - внутренний и на­ружный радиусы стенки; Т1 - температура одинакова по всей внутренней поверхности (при r = Г1); Т2 - температура одинакова по всей

НАРУЖНОЙ

ПОВЕРХНОСТИ (ПРИ R =

R2);

X - коэффициент теплопро­водности; L - длина цилиндрической стенки

ТЕМПЕРАТУРА Т1 (ПРИ R1) - ОДИНАКОВА НА ВСЕЙ ПОВЕРХНОСТИ F1; ТЕМПЕРАТУРА Т2 (ПРИ R2) - ОДИНАКОВА НА ВСЕЙ ПОВЕРХНОСТИ F2.  ТЕМПЕРАТУРА ОДНОРОДНОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ МЕНЯЕТСЯ ТОЛЬКО В НАПРАВЛЕНИИ РАДИУСА R, А ПО

ДЛИНЕ L ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННОЙ. ТРЕБУЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЬ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК Q (ВТ) И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ Т ВНУТРИ СТЕНКИ.

ЯВЛЕНИЕ  СТАЦИОНАРНОГО  РАСПРОСТРАНЕНИЯ  ТЕПЛОТЫ  В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

СТЕНКЕ ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ЛАПЛАСА В ФОРМЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ (1.8). ТАК КАК ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКИ МЕНЯЕТСЯ ТОЛЬКО В НАПРАВЛЕНИИ РАДИУСА R, ТО МОЖНО ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЗАМЕНИТЬ ПОЛНЫМИ, Т.Е.:

d2T   1 dT

+       = 0. (1.21)

dr2    r dr

dT

Введем переменную        U = —, (1.22)

dr

и тогда уравнение (1.21) примет вид:

dU 1 dU U
            ь —U = 0    или       =         

dr    r dr r

_          dU dr

Разделим переменные:         =          и после интегрирования последнего выражения имеем

Ur

C

In U = -In r + In С1    или    U = —.

r

Используя уравнение (1.22), имеем

dr С dr — = — или dT = С1 — dr     r r

После интегрирования последнего выражения имеем

T = Qln r + C2, (1.23)

где С1 и С2 - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий: при r = r1 Т = Т1, а при r = r2 Т = Т2.

Уравнение (1.23) при таких граничных условиях имеет вид:

T1 = C1ln r1 + C2;    T2 = C1ln r2 + C2.

Решая эту систему уравнений, находим постоянные интегрирования С1 и С2, и подставляя их в вы­ражение (1.23), получим распределение температуры в однослойной цилиндрической стенке, которое имеет логарифмическую зависимость:

T = T - T^-T^ ln - . (1.24)

r1

Согласно (1.24) внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону. При­чем при направлении Q наружу кривая расположена выпуклостью вниз, а при направлении Q внутрь трубы — выпуклостью вверх. Для многослойной цилиндрической стенки в целом температурная кривая представляет собой ломанную кривую.

Для определения теплового потока, проходящего через цилиндрический слой, воспользуемся урав­нением теплопроводности Фурье:

Q = -7 — F =-7—2nrL . (1.25)

dr dr

Продифференцировав уравнение (1.24) по радиусу r, имеем

dT dr

ln r2

'1

r

T - T21

lnr2 r

и подставив это выражение в (1.25), получим:

27nL(T - T2) = nL (T1 - T2)

Q

ln r­

или

27 r

Q

Ч J2

27 d

(1.26)

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени (или тепловой поток), через цилиндрическую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности материала X, длине L, температурному напору АТ = Т1 - Т2 и обратно пропорционально натуральному логарифму отноше­ния внешнего диаметра цилиндрической стенки d2 к внутреннему d1.

Подпись: 1 , d2Здесь   R =—ln—

термическое  сопротивление  теплопроводности  цилиндрического слоя,

(м • К)/Вт.

Тепловой поток Q (Вт), проходящий через цилиндрическую стенку, может быть отнесен либо к единице длины L, либо к единице внутренней F1 или внешней F2 поверхности трубы. Расчетные фор­мулы для цилиндрической стенки имеют вид: q1 = Q/F1, q2 = Q/F2.

Так как внутренняя F1 и внешняя F2 поверхности цилиндрической стенки различны, то различными получаются и значения удельных тепловых потоков q1 и q2, Вт/м. Взаимная связь между ними опреде­ляется соотношением:

qL = Q/L = q1 п d1 = q2 п d2.

В связи с этим термическое сопротивление цилиндрического слоя численно равно единичному пе­репаду температуры АТ, отнесенному к плотности теплового потока qL, уменьшенному в п раз:

Q / Ln     ql/п

(1.27)


Многослойная цилиндрическая стенка состоит из нескольких разнородных слоев (это трубопрово­ды с изоляцией, барабаны котлов). Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев трехслойной цилиндрической стенки показаны на рис. 1.10.

При стационарном тепловом режиме через все слои проходит один и тот же тепловой поток Q. Од­нако площади поверхности внутренней F1, внешней F4 и промежуточных поверхностей F2 и F3 цилинд­рической стенки различны. Поэтому различными получаются и значения удельных тепловых потоков:

qi = Q/Fi;    q2 = Q/F2;    #3 = Q/F3;    #4 = Q/F4.

Взаимная связь между удельными тепловыми потоками системы определяется соотношением: qL = Q/L = q1nd1 = q2nd2 = q3nd3 = q4nd4.

Поэтому для каждого слоя можно записать

Q = nL (Ti - T2) = nL (Ti - T2) . J-lnd2 "     Rm '

Q = nL (T2 - T3 ) = nL (T2 - T3 ) .

Q = nL (T3 - T4 ) = nL (T3 - T4 )

J_ln d±            R^ *

2X3 d3

Из этих уравнений рассчитывается температурный перепад АТ в каждом слое, а сумма этих перепа­дов составляет полный температурный напор, из которого определяется тепловой поток Q:

Q =      nL (ti - T4 )     =   nL (ti - T4 )      (i 28)

"J-ln dL + J-ln d3 + J-ln       Rm + RЦ2 + Rцз'


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я