1.4. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (1.12) и его частные случаи в декартовой (1.3) - (1.6), цилиндрической (1.7), сферической (1.9) системах координат выполняются при условии, если:

тело однородно, изотропно, а физические свойства постоянны;

в связи с температурными напряжениями деформации внутри объема тела незначительны по сравнению с объемом тела, а макрочастицы внутри тела неподвижны относительно друг друга.

Рассмотрим плоскую, однородную, изотропную, неограниченную (размеры по ширине намного больше толщины 8) пластину, выполненную из материала с коэффициентом теплопроводности X (рис. 1.7). Температура Т1 (при х = 0) - одинакова на всей поверхности F; температура Т2 (при х = 8) - одина­кова на всей поверхности F. Температура стенки меняется только по толщине в направлении оси х, а по оси у и z остается постоянной. Внутренние источники теплоты отсутствуют.

ЯВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОТЫ В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ФОРМЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (1.6). ТАК КАК ТЕМПЕРАТУРА СТЕНКИ МЕНЯЕТСЯ ТОЛЬКО В НАПРАВЛЕНИИ ОСИ Х, ТО МОЖНО ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЗАМЕНИТЬ

ПОЛНЫМИ, Т.Е:

D 2Т/DX2 = 0. (1.13)

ТРЕБУЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЬ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК Q (ВТ) И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ Т ВНУТРИ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ.

температура одинакова на всей поверхности F (при х = 0); Т2 - температура одинакова

на всей поверхности F (при х = 8);

0

х

8 - толщина пластины; X - коэффициент теплопро­водности

ПОСЛЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА (1.13) ПОЛУЧИМ DT /DX = Сь ОТКУДА

Т = СіХ + С2, (1.14)

ГДЕ С1 И С2 - ПОСТОЯННЫЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ИЗ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ: ПРИ X = 0 Т = Т1; ПРИ X = 8 Т = Т2.

ТОГДА УРАВНЕНИЕ (1.14) ИМЕЕТ ВИД: Т1 = Сг0 + С2, Т2 = С18 + С2.

ОТКУДА С1 = (Т2 - Т1) / 8; С2 = Сь

ПОСЛЕ ПОДСТАНОВКИ С1 И С2 В УРАВНЕНИЕ (1.14) ПОЛУЧИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ТЕМПЕРАТУРЫ ТВНУТРИ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ, КОТОРОЕ ИМЕЕТ ЛИНЕЙНЫЙ ХАРАКТЕР:

T = T -tl-t^x. (1.15) о

Для определения теплового потока, проходящего через слой, используем уравнением Фурье

q = -7dT     или    Q = -7dT F = qF . (116)

dx dx

Взяв производную по x в (1.15), получим dT/dx = -(Т1 - Т2)/8. Подставим это в уравнение (1.16):

q = -^ dT = 7 (T1 - T2); dx о

Q = qF = ^0 F (T1 - T2 ) = ЕЩ^іА . (1.17)

Следовательно, количество теплоты (Дж) переданное в единицу времени (с), или тепловой поток (Вт), через плоскую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности материала X, площади поперечного сечения F, температурному напору АТ = Т1 - Т2 и обратно пропорционально тол­щине стенки 8. Здесь Япл - термическое сопротивление теплопроводности плоского слоя, (м2 • К)/Вт:

Япл = 8 / X = F (Т1 - Т2) / Q = (Т1 - Т2) / q. (1.18)

Термическое сопротивление - это температурный напор, приходящийся на единицу удельного рас­хода теплоты. Иными словами, это разность температур, благодаря которой через заданную систему удается передать единицу удельного количества теплоты. Для плоских систем удельное количество те­плоты совпадает с плотностью теплового потока и равно q = Q / F, (Вт/м2).

Подпись:

Многослойная пло­ская стенка состоит из нескольких разнородных слоев (стены ограждаю­щих конструкций, обму­ровка печей и котлов). На рис. 1.8 показана трехслойная стенка с толщиной каждого слоя 8ь..83 и коэффициентом теплопроводности соот­ветственно Хь.. X3.

При стационарном тепловом режиме удель­ный тепловой поток по­стоянен и для всех слоев одинаков, поэтому

Изменение температуры в каждом слое составляет:

Складывая левые и правые части полученных уравнений, получаем суммарный температурный на­пор

Т1 - Т4 = q (81/Х1 + 82/Х2 + 83/Х3).

Удельный тепловой поток: q = (Т1 - Т4)/(81/Х1 + 82/Х2 + 83/Х3). Удельный тепловой поток для и-слойной плоской стенки

q = (Т1 - Тй+1)/(81/Х1 + 82/Х2 + ... + 8„/Х„). (1.19)

Общее термическое сопротивление многослойной плоской стенки равно сумме частных сопротив­лений.

Тепловой поток Q, проходящий через поверхность F:

Q = qF = Е(Т - Т„ + 1)/(81/Х1 + 82/Х2 + ... + 8„/Х„). (1.20) Иногда (ради сокращения) многослойную пластину (рис. 1.8) рассчитывают как однослойную (од­нородную) толщиной А и в расчет вводится эквивалентный коэффициент теплопроводности Хэкв:

Хэкв = А/(81/Х1 + 82/Х2 + 83/Х3) = (81 + 82 + 83И81/Х1 + 82/Х2 + 83/Х3).

Эквивалентный коэффициент теплопроводности Хэкв зависит только от термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

Удельный тепловой поток в этом случае q = Хэкв (Т1 - Т4)/А.

В расчетной формуле для многослойной стенки (1.20) предполагается идеальный тепловой контакт соприкасающихся слоев и благодаря этому слои имеют одну и ту же температуру. Однако, если поверх­ности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно, и между слоями образуются воздушные зазо­ры. Так как теплопроводность воздуха мала, то наличие даже очень тонких зазоров может сильно по­влиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и измерении теплопро­водности на плотность контакта между слоями нужно обращать особое внимание.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я