Дифференциальные уравнения равновесия

Выделим из тела элементарный параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 2). Рассмотрим его равновесие под действием составляющих напряжений на гранях и объемной нагрузки, представленной составляющими ее интенсивности , , .

Рис. 2

Проекция сил на ось  дает:

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая оставшиеся слагаемые на , приходим к уравнению

.

Аналогично записываются условия  и . В результате приходим к системе трех уравнений:

                                        (1)

Они являются дифференциальными уравнениями равновесия и называются также уравнениями Навье.

Уравнения Навье устанавливают соотношения между напряжениями и объемной нагрузкой.

Далее рассмотрим условия равенства нулю моментов относительно координатных осей.

Так,

Раскрывая скобки, приводим подобные. Часть оставшихся слагаемых содержит произведения трех дифференциалов, т.е. имеют третий порядок малости. Другая часть содержит произведения четырех дифференциалов, т.е. имеет четвертый порядок малости. Пренебрегая слагаемыми четвертого порядка малости, сокращаем оставшиеся на . В результате получаем

.

Остальные условия ( и ) приводят к аналогичным соотношениям, т.е. имеем:

                                                              (2)

Полученные равенства представляют собой закон парности касательных напряжений.

Поскольку система координат может быть выбрана произвольным образом, соотношения (2) могут быть отнесены к любым двум взаимно перпендикулярным площадкам. В связи с этим закон парности касательных напряжений формируется так: касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии их пересечения, равны.

Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности

Рассмотрим элементарный тетраэдр  (рис. 3). На наклонной площадке  с нормалью  действуют напряжения, составляющие которых  , . На площадках, лежащих на координатных плоскостях, напряжения представлены их нормальными и касательными составляющими.

Если площадь наклонной площадки  составляет , то площади остальных граней:

;            ;          ,

где

;           ;       

− направляющие косинусы внешней нормали  площадки .

Рис. 3

Спроектируем напряжения и объемную нагрузку тетраэдра на ось :

Учитывая, что объем  определяется произведением трех дифференциалов, отбрасываем последнее слагаемое, как величину третьего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми, содержащими площади . После сокращения на  приходим к соотношению

.

Присоединяя аналогичные соотношения, найденные из условий  и , получаем выражения для напряжений на наклонной площадке:

                                        (3)

Если наклонная площадка находится на поверхности тела, то составляющие напряжений  ,  представляют собой составляющие интенсивности поверхностной нагрузки. В этом случае равенства (3) устанавливают соотношения между поверхностной нагрузкой и напряжениями в точках на поверхности тела. Такие соотношения называют условиями на поверхности или граничными условиями.

Уравнения (1) и (3) представляют собой полную систему статических уравнений. Если тело находится в равновесии, то для всех его внутренних точек выполняется уравнение Навье, а для всех наружных – условия равновесия. И наоборот: если для всех внутренних точек выполняется уравнение Навье, а для всех наружных – условия на поверхности, то тело находится в равновесии.


Авторы: 239 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги: 268 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я